将“游园活动”进行到“底”——一则“操作活动型”数学综合与实践活动教学设计案例

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(浙江师范大学婺州外国语学校 浙江金华 321025)

“综合与实践”是《义务教育数学课程标准(2011年版)》的一个重要领域，其综合性、活动性、趣味性等特点，对于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力具有重要作用[1].然而，由于教材中“综合与实践”的内容编排量较少，教师从内容选择开始就感到无所适从；对综合与实践活动如何组织和实施，缺乏成功经验的指导，容易流于形式[2]，“综合与实践”仍没有发挥出其巨大的教育价值.这就需要我们积极探索“综合与实践”活动的组织形式和实施途径，以开发出更多高质量的综合与实践活动案例.目前，已有一些学者、同行对此进行了探索，比如张奠宙等人从数学本质的维度把“综合与实践”的内容分为综合应用型、操作活动型、数学欣赏型、数学文化型、数学素养型，并提供了一些的案例[3]，这有助于我们对综合与实践活动的类型作出合理的定位；义务教育数学课程标准修订组则将综合与实践活动的教学环节设计成“选题—开题—做题—结题”的“微科研”过程，看似简单明了，实则可操作性较低.台湾地区的课程标准中也有和“综合与实践”相类似的领域“联结”，其外部联结具有“觉察—转化—解题—沟通—评析”的开展流程，与“微科研”的操作流程相比，虽然内涵相差无几，但可操作性更强.我们可以借鉴这一流程来开展综合与实践活动，本文也将在这一流程的指导下，开发出一则“操作活动型”的综合与实践活动教学设计案例.

1 教学背景

经过对笔者所任教2个班级的生的调查发现：几乎所有学生都认为数学在现实生活中具有重要的作用，然而再进一步让他们举出数学应用于现实生活的具体事例，能举出3个或3个以上的学生很少，且举出的事例大多与商品价格计算等有关，视野比较狭窄；再让他们试着解决一些综合性的开放题目，能够解出的学生更是寥寥无几.这与学生的生活阅历、知识储备、知识的灵活应用等有很大的关系，在一定程度上说明了学生对数学应用的认识不够深刻，也反映出以往我们的教学过于注重形式化的计算、推理，而忽略了对学生应用意识、问题解决能力的培养.基于这样的调查结果，教师应试图从教学内容的选择、组织等方面改进教学，特别是在教学内容的选择方面，要贴近学生的生活实际，有利于学生的体验与理解、思考与探索.基于这样的认识，恰逢笔者所在的学校刚刚举行了游园活动，而笔者所任教的班级承办了“定点射球”(站在0.5米宽的门框外指定的1.5米、3米、4.5米处，朝框内踢足球，射入分别得1,2,3分，射不进得0分，且只有在1.5米处射进才能有机会在3米处射，同样只有前2次射进了，才能在4.5米处射)，笔者将这个游戏进行设计，以开发出综合与实践的教学设计案例.

2 教学过程

2.1 觉察

所谓的觉察就是能觉察或知道数学与生活、自然科学或社会科学等领域以及人类文化发展之间的联系，相当于解决问题过程中的发现问题，当然这些被发现的问题是与数学相关联的.

为了测量的方便，笔者将授课地点安排在操场.

活动环节1游戏——定点射球.将学生都集中在一起，让提供这个游戏的学生A在操场上给大家布置游戏场所并描述游戏规则，要求其他学生认真观看，并认真聆听游戏规则.随后教师随机派2位学生协助学生A进行计分、统分，将其余学生分成6个小组，每个小组自行安排派2位代表参加比赛.当然比赛的结果是几位参赛代表从比赛中得到了不同的分数.

活动环节2讨论——几位参赛的代表在比赛中得到了不同的分数，那是为什么呢？有的学生说是脚法等技术问题，还有的说是运气，更多的说是因为在3米、4.5米处距离门框太远较难将球踢进.

设计意图通过学生亲身经历的游戏作为引入，一方面可以激发学生的学习兴趣，激发他们的探究欲，另一方面使学生初步认识到数学与日常生活的联系.

2.2 转化

转化就是把情境中的问题转化为数学问题，并利用数学的语言、符号等将问题表征出来.

活动环节3探究——距离门框的距离越远的确就越难将球踢进，那能否说与门框的距离远近是能否将球踢进的决定性因素呢？学生们继续进行激烈地探讨，有的学生说是，有的学生说不是，也提出了脚法等技术性原因是决定性因素.

这时教师顺着学生的思路作出说明：假如抛开所有人为因素，那么什么才是能否将球踢进的决定性因素呢？

学生们陷入了沉思，认为距离决定了射入球门的难度.教师继续引导：那么请想一下，如果把门框的宽度变大或变小，大家觉得射入的难度会不会变化？学生进一步陷入沉思：有变化，门框变宽时，射入的可能性增大，变窄时射入的可能性减小.这时距离不是决定性因素了，那是什么呢？学生们紧接着喊出是门框的宽度，教师不急于作出回答，一些学生又想到门框的距离也是一个影响因素，紧接着大部分学生认为门框宽度和射球距离都是直接影响因素.

活动环节4操作——当学生已经想到门框宽度和射球距离可能是影响球能否射进的决定性因素时，我们可以将2个长度都测量出来，得到几组数据分别为：1米、2米；1.5米、3米；4米、2米，那么又如何知道哪个射入难度大，哪个射入难度小呢？

学生们又陷入了沉思.教师建议大家不妨在纸上画一画，在射球位置不变而门框距离变化的情况下，发生了什么变化？学生很快得出答案，是射球位置与门框2个端点构成角的大小变化导致了射球成功率的高低.

设计意图在师生交流的过程中，通过实物演示、图形模拟等途径，使学生自己通过探究获得了射球位置与门框2个端点构成角的大小是射球成功率高低的决定性因素.

2.3 解题

解题就是综合运用数学的知识与方法，得出问题的答案，或验证猜想的正确与否.

活动环节5继续操作——既然学生们都认为射球位置与门框2个端点构成角的大小变化是导致射球成功率高低的决定性因素，下面验证推断是否正确.以小组为单位解决以下2个问题，其中前3个小组求出在门框宽度为1米，射球点距离门框的距离分别为1米、2米、3米时，射球位置与门框2个端点构成角的大小；后3个小组测量射球点距离门框距离为2米，门框宽度分别为1米、2米、3米时，射球位置与门框2个端点构成角的大小.

各个小组很快就行动起来，他们首先按照要求将游戏场景呈现出来，然后利用米尺、细绳、量角器等工具进行测量，并将测得的数据记录下来.比较数据发现：在门框宽度不变的情况下，射球点距离门框的距离越远，所构成的角越小；在射球点距门框的距离不变的情况下，门框越宽，所构成的角越大.从而得出射球位置与门框2个端点构成的角越大时，越容易将球射进，反之，则越难.

设计意图学生以小组为单位，通过实际动手操作，测量出各个角的大小，并通过比较，验证了射球点与门框2个端点构成角的大小是射球成功率高低的决定性因素.

2.4 沟通

沟通是指与自己或他人沟通解答的过程及其合理性.

活动环节6回归——(回到教室)在某些情况下，我们可能会缺少一些工具.假如说现在没有大的量角器，但有小的量角器，甚至没有量角器，上面的问题还能解决吗？

在只有小的量角器的情形下，引导学生利用三角形全等和相似的相关知识，来验证以上结论.在没有量角器的情形下，引导学生利用三角形的角的关系来验证以上结论.

图1

在只有小的量角器的情形下，首先利用地图比例尺让学生了解地图中任意3个点组成的三角形各边如果按照比例尺等比例扩大就能代表三地实际的距离.类似地，真实的三角形按照一定的比例缩小可以画到纸上，在这个变换下对应角不会发生变化；然后利用直角三角形的相关性质，将缩放后的三角形画到纸上；最后量出所要测量的角(如图1所示).在没有量角器的情况下，根据上面的步骤将三角形画出来，再根据三角形的一个外角等于不相邻的2个内角之和等性质，比较各个角的大小.

设计意图通过逐步弱化条件，增加了猜想验证的途径，使学生的思维不仅仅停留在操作实践的层面，更向着抽象的方向发展.

2.5 评析

评析就是通过对觉察、转化、解题、沟通等一系列环节的分析、评价与反思，找出解决问题过程中的优缺点，以优化解决问题的方法，并能促进学生情感方面的发展.

活动环节7整理——本节课共运用了几种方法解决问题？这几种方法有什么区别？大致分为(由学生一一展示或补充)：第1种方法应用在可以用大的量角器量角的情况下，可以直接通过测量进行；第2种方法是在只有小的量角器的情况下，利用三角形相似与全等，通过测量得出；第3种方法是在没有量角器的情况下，利用三角形的内外角关系等比较出来的.让学生各抒己见后，从限制条件出发，引导学生根据实际情况作出选择.这些方法在不同的条件下使用，所用到的数学知识也不一样.

活动环节8作业——PPT展示(游园活动中笔者所教的另一个班开展的活动)：跳球进筐，即在3米处放一个长方体纸盒，然后往里面投掷乒乓球，且乒乓球必须通过反弹，球进得分，球不进不得分.问将乒乓球投掷到哪个范围时可以得分，这个范围的面积多大？

设计意图通过提问，引领学生对整节课进行反思.同时，通过作业布置，一方面考查学生对数学认识的变化，另一方面进一步巩固与提高学生学习数学的兴趣.

3 对教学设计的反思

此教学设计是在“觉察—转化—解题—沟通—评析”的流程指导下开发出来的，表现出了逻辑清晰、可操作性强的特点.但是，这5个环节并不是简单的线性关系，比如评析指标，具体要求如下：能用解题的结果阐释原来的问题情境；能由解题的结果重新审视情境，提出新的观点或问题，能经常阐释及审视情境，重新评估原来的转化是否得宜，并作必要的调整；能评析激发的优缺点.从这些要求中可以看出，评析指标包含了对觉察、转化、解题和沟通的要求.而进一步分析其余指标，可以发现：后一指标包含了对前面的指标要求，这就要求在运用这一流程指导教学设计的每一个环节时，要考虑到利用其余环节的要求进行分析.这样作既增加了解决问题的可能性，又降低了解决问题的难度.

在运用这一流程开发教学设计时，有2个问题需要特别注意：一是综合性与实践性如何体现？二是怎样把握课堂上的热闹，而又避免“去数学化”的趋势？对于第1个问题中的“综合性”，笔者主要通过图形与几何领域的内综合以及数学与游戏的外综合来予以体现，涉及到了角度的测量、角度的大小比较、三角形全等与相似、三角形的画法等知识点.至于“实践性”，主要通过学生的角度测量、三角形的绘制等来实现.对于第2个问题，在游戏的场景中，在学生的动手实践下，活跃的课堂气氛自然不在话下，但是如何避免“去数学化”的趋势，别把数学课变成简单的操作课，笔者主要通过淡化条件、增加解决问题的难度予以处理.如果本节课在用大的量角器量角、比较角的大小的环节处结束，那么这节课充其量是一堂测量课，而不是一堂综合与实践活动课.考虑到授课的对象是初二学生，必须在原有的问题情境下，增加问题的难度，笔者发出了“如果没有大的量角器，只有小的量角器，甚至没有量角器，我们还能解决吗”的追问，将问题的难度增加，学生也只有在运用更多的数学知识的前提下，才能将问题解决.

此外，还应该注意一个问题，学生在知识与技能方面的掌握与提高固然重要，但仍要注意学生在过程与方法、情感态度价值观方面的发展，特别是在情感态度价值观方面的发展，其重要性在一定程度上甚至超过了知识与技能的掌握与提高.

以此案例为例，学生在运用相关知识解决问题的过程中，能够促进对这些知识与技能的巩固与提高，但与复习课、习题课相比，效果并不理想.然而，在复习课与习题课上，学生很难认识到数学与日常生活的密切联系，也很难灵活地综合运用相关知识来解决实际生活中出现的问题.因此，本节课布置了2个课后作业：一方面让学生通过反思，促进情感等方面的发展；另一方面是给学生进一步练习的机会.

当然这个案例，也存在一些缺陷，特别是利用地图比例尺等提前渗透三角形相似，使初二学生知道“2个三角形相似，对应角相等，对应边成比例”这一性质，这需要进一步的思考与改进.

参 考 文 献

[1] 中国人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012:3-7.

[2] 许卫兵.综合与实践：课程改革的一次“撑杆跳”[J].福建教育，2013(4):48-49.

[3] 张奠宙,唐彩斌.例析“综合与实践”课程内容[J].福建教育，2013(6):42-44.