以三角形为背景的高考试题归类解析

2014-08-09 03:34
中学教研(数学) 2014年4期
关键词:边角余弦定理正弦

(马寅初中学 浙江嵊州 312400)

●施哲明

(嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

三角形是最简单的封闭几何图形.从小学、初中到高中,数学学习与三角形的联系越来越紧密和频繁,在数学的各种学习内容、各类试题背景中成为最活跃的几何图形之一.这个小小的三角形中充满了无限的奥秘和变化:从最基本的3条线段、3个角的组成来看就包含着许多优美的性质,既有边长关系,又有角度关系,还有边角合一的正弦定理、余弦定理等等;若涉及中线、角平分线、垂线等,那更是到了一个神奇的三角王国;若再把它隐藏到某一些几何图形中,如圆锥曲线中的特征三角形、立体几何中的线面角和面面角等,那更显得丰富多彩,真可以说是三角、代数、几何、图形的百川交汇.正由于它在平凡中充满着无穷的魅力,因此得到高考命题者的青睐.本文例举若干以三角形为背景的试题,展现它在试题命制中的不同侧面,供大家欣赏和参考.

1 定理为先,“边角”互通

在高中数学中,三角形性质的代数化表达中,最重要的就是正弦定理和余弦定理,它们沟通了三角形的边角关系,也提供了边角相互转化的工具.因此高考中有关三角形的试题最直接、最常见的就是应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关度量问题.

(1)求A;

(2012年新课标全国数学高考试题第17题)

分析(1)由已知条件及正弦定理得

因为B=π-A-C,所以

评析正弦定理和余弦定理是解决有关斜三角形边角问题的2个重要定理,利用这2个定理可将边角关系达到统一.本题第(1)小题求角,故需把边转化为角;第(2)小题求边长,故需选用含3个边长变量的余弦定理.在研究较复杂的三角形问题时,常需正、余弦定理综合使用,甚至反复使用.

2 向量为“桥”,运算为“梁”

从向量进入高中数学后,三角形的几何性质就可以用向量的形式来表现.既具代数表达形式又具非凡魅力的几何意义的向量,在解决许多以三角形为背景的高考试题中,成为一道亮丽的风景线.

A.2 B.4 C.5 D.10

(2012年江西省数学高考试题第7题)

分析1以C为原点、CA,CB所在直线为x,y轴建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),则

从而 |PA|2+ |PB|2=

故选D.

故选D.

分析3由平行四边形性质得

故选D.

评析此题以直角三角形为背景呈现,初看似乎与平面向量无关,但倘若运用代数方法来解决此题会觉得无从入手,但一旦看清此题考查的真正意图,再合理运用平面向量的运算,就能迎刃而解.真所谓是“不识庐山真面目,只缘身在此山中”.

( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

(2013年浙江省数学高考理科试题第7题)

图1

分析如图1,在△ABC中,设BC的中点为D,则

同理可得

3 多“管”齐下,精彩纷呈

在高中数学中,涉及到三角形性质的试题,其表现形式往往是代数形态.而解决的主要手段,也是借助于三角、代数的方法.但在实际问题中,我们常常结合几何图形采用多种方法,从不同角度加以解决,这也恰好反映了三角形在高中数学中的魅力所在.

例4在△ABC中,AB=4,M为BC的中点,且AM=1,则∠BAC的最小值为______.

(2013~2014学年第一学期浙江省嵊州市高三期末检测试题)

解法1(以所求∠BAC为目标)如图2,由余弦定理得

a2=16+b2-8bcos∠BAC,

(1)

由式(2),式(3)得

a2=4-16bcos∠BAC,

(4)

由式(1),式(4)得

故∠BAC≥150°.

图2 图3

解法2(以所求角的补角∠ABD为目标)如图3,延长AM到点D,使得AM=MD,联结BD,CD.设∠ABD=θ,BD=x,则由余弦定理得

4=16+x2-8xcosθ,

故θ≤30°,从而∠BAC≥150°.

解法3在△ABD中,由正弦定理得

图4

(x+6)2+y2=4,

这就是点C的轨迹.当AC与圆相切的时候,∠BAC的最小值为150°.

故∠BAC的最小值为150°.

解法6如图5,延长BA到点Q,使得BA=AQ.因为点M为BC的中点,所以AM为QC的中位线,从而QC=2,即点C的轨迹是以Q为圆心、半径为2的圆.故当AC与圆Q相切时,∠BAC的最小值为150°.

图5 图6

解法7(以中点M的轨迹为目标)如图6,延长AM到点D,使得AM=MD.因为AD=2,所以点D在以A为圆心、半径为2的圆上,当BD与圆相切时,∠ABD最大,从而∠BAC的最小值为150°.

评析运用三角、向量的代数运算和几何运算、解析几何、数形结合等多种数学方法,紧紧围绕解题目标,展开了不同的解法,充分展示了三角形命题在高中数学中的复杂性和解法的多样性、综合性.本题无论从试题的命制,还是解法的呈现,都让人赏心悦目,余味无穷.

4 置之于“形”,百花齐放

正如前面所述,三角形是最简单也是最基本的平面封闭图形,许多试题往往将它“镶嵌”于其中,并以它作为背景、有机地融合了各方面的知识进行考查,形成了一批内涵丰富、立意新颖的试题.

( )

A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列

D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

(2013年全国数学高考试题第12题)

分析通过边长的递推关系,得

结合an+1=an,可知点An在以Bn,Cn为焦点的椭圆上,且

故边BnCn上的高逐渐增大.又因为|BnCn|=a1,所以{Sn}为递增数列.

评析此题将三角形的顶点以递推数列的动态形式给出,隐含圆锥曲线定义于其中,也不是通过简单的高的变化来反映三角形的面积,而是通过相邻2条边的长度之间的关系来体现三角形的面积变化.在领略不凡新意的同时,对学生的逻辑思维能力和数学想象能力给予了深度的考查.

(2013年浙江省金华市高三月考试题第16题)

图7

分析如图7,依题意有

|BF1|= |AF1|-|AB|=

|AF1|-|AF2|=2a.

因为|BF2|-|BF1|=2a,所以

|BF2|=4a,

|AF2|=4a,|AF1|=6a.

又∠F1AF2=60°,|F1F2|=2c,由余弦定理得

4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×cos60°=28a2,

随着学习阶段的提升,有关三角形的试题的变化,表现特征为从几何图形及几何性质向代数形式转变,从单一的知识向综合性知识转变,从简单背景向复杂背景转变.这就需要教师在教学中,抓住三角形几何性质的不同表现形式,综合运用各种方法,灵活应用几何结论,方能简捷高效地解决新形式的三角形问题.

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