为何“殊途同归” 难道原本“近亲”——高三数学解题教学偶得

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(戴南高级中学 江苏兴化 225721)

1 问题的提出

先看一道例题:

解法1设t1=1-x2≤1,则

当t1=0时，y=0;

解法1较繁琐，在换元后得到的仍是一个分式函数，而解法2却很简单，在换元后就变成了一个二次函数(多项式函数).

问题1解法1与解法2所得的2个函数可以互化吗？

问题2虽然函数不同，但却“殊途同归”，难道分式函数与多项式函数原本“近亲”？

2 问题的解决

2.1 问题1的解决

即解法1所得函数可以转化为解法2所得函数，反之，解法2所得函数也可以转化为解法1所得函数，这说明2者是可以相互转化的.

2.2 问题2的解决

为什么分式函数与多项式函数可以相互转化呢？是不是所有的分式函数与多项式函数都可以相互转化呢？这背后又隐藏着怎样的代数原理呢？这一连串的问题不得不引起我们的思考.

在中学数学所涉及的基本初等函数中，幂函数实际上是很值得深入研究的函数.因为由幂函数与幂函数的复合或加减乘除可以得到很多复杂的函数，比如：多项式函数、分式函数、无理函数，而这些复杂函数的值域也一直是中学数学的难点，可奇怪的是教材对幂函数的研究却浅尝辄止，甚是可惜.因此多项式函数与分式函数具有共同的祖先——幂函数,既然具有共同的祖先，当然是“近亲”，也就必然可以互化了.

3 问题的拓展

问题3在中学数学中，还有类似的“近亲”问题吗？答案是肯定的.

解由不等式ax2-bx+6>0的解集为(-2,3),可得：x1=-2，x2=3是方程ax2-bx+6=0的2个根且a<0,则

评析不等式与方程具有共同的祖先——函数，因此我们可以直接由不等式的解集得到方程的根，这也是教师经常强调的3个“二次”之间的关系.

接下来方法很多，限于篇幅从略.

评析解法1将值域问题转化为一条直线与一个椭圆之间的问题；而解法2则将值域问题转化为一条直线与一个圆之间的问题.我们不禁想问：圆与椭圆是“近亲”吗？在解析几何中，我们知道：把圆(椭圆)沿某一方向均匀压缩(或伸长)就会变成椭圆(圆)，因此圆与椭圆当然是“近亲”.

例4求函数y=2cos2x+sin2x的最小值.

设t=tanx+1,显然当t<0时，函数取到最小值，

评析中学数学用坐标定义了三角函数，因此正弦函数、余弦函数、正切函数相互都是“近亲”，上述3种解法虽分别把原函数化为正弦函数、余弦函数、正切函数，但答案是一样的，并且还可以相互转化.

例5[1]甲、已2人相约于下午1：00～2：00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在1：00～2：00之间有4班客车开出，开车时间分别为1：15，1：30，1：45，2：00，求他们在下述情况下坐同一班车的概率.

(1)约定见车就乘；

(2)约定最多等一班车.

分析1此题是很典型的测度为面积的“几何概型”，易得解法1.

解法1设甲、乙2人到达车站的时刻分别为1时15x分，则0≤x≤4，0≤y≤4，于是(x,y)的集合为D{(x,y)|0≤x≤4,0≤y≤4}.

(1)如图1，设“甲、乙2人在约定见车就乘的情况下坐同一班车”为事件A，则

故所求事件A构成的集合为

由几何概型定义知，所求事件A的概率为

图1 图2

(2)如图2，设“甲、乙2人在约定最多等一班车的情况下坐同一班车”为事件B,则

故所求事件B构成的集合为