一道联赛试题的多视角求解

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(黄陂区第一中学盘龙校区 湖北武汉 430312)

竞赛试题通常凝聚着命题专家的智慧，解题视角广、途径多,富含着数学的精神、思想和方法.对于一个数学问题，若能根据已知与要求之间的关系，发散思维，善于联系，多角度深入的思考，可以得到多种不同的解法，从而训练思维的灵活性，优化思维品质．

本题是2013年湖北省高中数学联赛高一试题的第11题．求函数值域大家再熟悉不过，然而当你动笔去做时，你会发现，此题看似平淡，其实意蕴不凡.下面给出笔者的一些思考．

视角1单调性解 彰显通法

从而

故

①若x∈[1,+∞)，则当x=1时y=1;当x→+∞时，y→+∞,故y≥1.

②若x∈(-∞,-1]，则当x=-1时，y=1；当x→-∞时，

故

评析单调性是函数性质的灵魂，借助单调性求函数的值域是中学阶段最为重要的方法之一．有些函数的单调性可直接分析函数的结构特征，而有些则需要借助导数求解.解法1的关键是当x≤-1时对式子进行恰当变形，将变量集中在一个式子中，目的是分析出函数的单调性；解法2利用导数判断单调性是通法，充分体现了导数的应用价值.

视角2合理换元 意在简化

由0≤sinθ≤1，知y≥1.

由

0≤sinθ<1,1≤1+sinθ<2，

知

将式(2)平方得

将式(1)代入式(3)得

即 4yt-y+2t=0.

(4)

从而

于是

故

评析解法3联想三角函数中的平方关系，借助三角换元，顺利将根号去掉，最后利用三角函数的有界性来解题．解法4采用均值换元，先通过平方去掉根号，再借助关于t的一元二次的方程有符合条件的根求解．换元法是数学解题中的基本方法，表达式中的根号无疑是解题中的最大障碍，以上2种解法的初衷都是去掉根号.

视角3以形助数 贵在直观

图1

n2=m(m-1)，

其中m≥0，即

评析“数形结合”的思想是高中阶段重要的数学思想，不少代数问题都有其几何背景.挖掘这些几何特征，“以形助数”能让问题的解决更直观简捷，也体现了命题人“多一点想，少一点算”的指导思想．

视角4巧妙反解 避重就轻

平方得

y2-2yx2=-x2,

即

(1-2y)x2=y2.

故

评析数学也是一个充满思辨性的学科，“主与次”、“动与静”在很多时候是可以相互转化的，解法6正好体现了这一思想的运用，值得体会．

视角5不等式法 自然天成

解法7若x∈[1,+∞]，略.若x∈(-∞,-1]，显然y≤1，又因为

评析本题的难点在于当x≤-1时的求解，在放缩过程中，虽然等号取不到，但可无限接近．原本不等式的运用难在配凑，而此题无需配凑，自然天成，命题人可谓用心良苦，让人拍案叫绝！

解题是数学的永恒主题，数学的解题历程是一项富有挑战性的活动，每一次的解题思维过程都会给我们留下深刻的解题体验和感悟．《新课标》明确提出了使学生获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的目标要求．以上提供的7种解法，涉及函数、导数、三角、不等式等诸多知识，用到了换元、构造、反解等重要方法，渗透了分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程等核心思想．