关于一个p(x)-Laplace方程的L∞估计*

牟晓丽

(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)

1 问题的介绍

本文研究如下p(x)-Laplace方程的L∞估计

这里，Ω是RN中的有界单连通区域，其边界∂Ω光滑.记

我们假设1＜p-≤p+＜∞.另外，假定可测函数p(·)：Ω →R满足 log-Holder连续性条件［1］.即存在常数C＞0，使得

在变指数 Sobolev空间的研究中，这种 log-Holder连续性条件保证了(Ω)在 空 间W1，p(x)(Ω) 中的稠密性［1］.这样我们能够合理地定义变指数Sobolev空间的齐次边值问题.

带有变指数的p(x)-Laplace方程与一般的常指数的p-Laplace方程有很大的不同，它的扩散项更为精细地描述了种群动力学和物理学中的扩散现象［2］.这在实际中有着广泛的应用，例如图像处理［3］和电磁流体［4］.

特别地，在图像处理和恢复的研究中，与常指数情形相比，在变化的指数情形下求得的泛函极小元更具有实际意义.因为它不但保留了原来的边缘数据，而且形成了一些新的原始图像的边缘信息，即所谓的“阶梯效应”.

下面我们给出方程(1-2)的弱解的定义.

定义1 方程(1-2)的弱解u是指u∈，并且对任意的，如下的积分恒等式成立

即(1-2)是在分布意义下成立的.

方程解的有界性估计是计算数学和偏微分方程所关注的.本文主要研究方程(1-2)的L∞估计，主要定理如下：

定理1 假设函数a连续且，u是问题(1-2)的一个弱解.那么存在正常数R，使得.

2 定理的证明

首先，给出如下的变指数Sobolev空间的 De Giorgi迭代引理，它是对常指数空间情形迭代引理［5］的推广.其证明是初等，我们略去.

3 定理的应用

带有对流项和L-1数据的方程在实际中也有重要应用.例如下面的问题

其中，1＜p-≤p+＜∞，并且p满足log-Holder连续性条件.方程(12-13)的右端项满足

在方程(12～13)的弱解的存在性证明中，关键在于梯度项和L1数据的处理.运用定理1的证明方法可以克服这些困难.证明的主要思路如下：

第一步：考虑方程

其中h∈L∞(Ω)，∈ (L∞(Ω))N.根据伪单调算子理论［6］，其弱解的存在性是标准的.运用定理1的方法，我们知道(14～15)的弱解是L∞有界的.

第二步：(12～13)弱解的存在性可以通过下面的其扰动方程的弱解来逼近

由第一步的结果，我们知道对每一个n，方程(16～17)存在弱解

在(18)中选取合适的检验函数［7］，根据标准的极限过程，我们能够找到方程(12～13)的弱解.

［1］C.Zhang，S.Zhou，Renormalized and entropy solutions for nonlinear parabolic equations with variable exponents and data［J］.Differential Equations，2010，248.

［2］L.Diening，P.Harjulehto，P.Hasto，M.Ruzicka，Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents［M］.volume 2017 of Lecture Notes in Mathematics.Springer，Heidelberg，2011.

［3］Y.Chen，S.Levine，M.Rao，Variable exponent，linear growth functionals in image restoration［J］.SIAM J.Appl.Math.2006，66.

［4］M.Ruzicka，Electrorheological fluids：modeling and mathematical theory［M］.volume 1748 of Lecture Notes in Mathematics，Springer-Verlag，Berlin，2000.

［5］Z.Wu，J.Yin，C.Wang，Elliptic¶bolic equations［M］.World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd.，Hackensack，NJ，2006.

［6］O.Kov′aˇcik，J.R′akosn′1k，On spaces Lp(x)and Wk，p(x)［J］.Czechoslovak Math.J.1991，41(116).

［7］L.Boccardo，T.Gallouët，L.Orsina，Existence and nonexistence of solutions for some nonlinear elliptic equations［J］.Anal.，Math.1997，73.