赋广义Orlicz范数的Orlicz序列空间的UKK性质*

段丽芬，庄彩彩

(通化师范学院数学学院，吉林通化134002)

设X是Banach空间，若对任何ε＞0都存在δ ＞ 0，当xn∈B(X)，且 ‖xn-xm‖ ≥ ε(n≠m)时，有‖x0‖≤1-δ，则称X具有UKK性质［1］.经典Orlicz空间作为一类内容丰富的具体的Banach空间，具有 UKK 性质的判据已经查明［2，3］，本文给出赋广义Orlicz范数的Orlicz序列空间具有UKK性质的条件.文中其他定义及符号均同［4］.

为了证明方便，首先给出两个引理.

引理1 设M是N-函数，xn∈B(lM，p)(1 ＜p＜∞，n=0，1，…)，kn满足

引理2 设M是N-函数，xn∈lM，p(1 ＜p＜∞，n=0，1，…).若xn→wx0(n→ ∞)，则xn按坐标收敛于x0(n→∞).

定理1 设M是N-函数，则对任何1＜p＜∞，lM，p具有UKK性质的充要条件是M∈Δ2.

证明 必要性.因UKK空间具有H性质，利用文献［5］定理1，M∈Δ2得证.

充分性.取 ε ＞0按文献［4］定理1.39，存在β＞0使得蕴含ρM(x)≥β.任取xn∈B(lM，p) 满足

我们需要找δ＞0，使得‖x0‖M，p≤1-δ即可.

若x0=0，结论显然成立；若x0≠0，存在唯一数列{kn}，kn＞ 1，使

则按引理1，{kn}有界，从而存在{kn}的收敛子列仍记为{kn}，不妨设kn→k(n→∞).记

因M∈Δ2，存在i0∈N，使得

因，利用引理2，xn按坐标收敛于x0.因此存在c∈N，使得当n，m＞c时，

［1］Huff R.Banach spaces which are nearly uniformly convex［J］.Rocky Montain J.Math.，1980，10(4)：743-749.

［2］赵亮，胡庆华，李岩红.Orlicz序列空间的 UKK*，WUKK，WUKK* ［J］.哈尔滨理工大学学报，1999，21(3)：15-16.

［3］Meng C H，Cui Y A，Wang T F.Nearly convex in Orlicz sequence spaces equipped with Orlicz norm［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathmatics，2000，15(1)：1-8.

［4］CHEN S T.Geometry of Orlicz spaces［M］.Warszawa：Dissertations Math，1996.

［5］段丽芬，左明霞.赋广义Orlicz范数Orlicz序列空间的H性质［J］.吉首大学学报：自然科学版，2014，36(2)：11-15.