带双参数的四次均匀B样条*

盛鸿宇

(北京联合大学电子信息技术实验实训基地，北京100101)

在CAGD中，均匀B样条是一个很有用的工具，但也有不足的地方，如对给定控制点，均匀B样条曲线的位置也是确定的，如果要调整曲线形状需调整控制多边形.为此，人们作了不同探索，提出了用张量参数构造曲线的方法［1-2］，有理Bézier曲线和有理B样条曲线［3-4］及其它类型的可调形状有理曲线［5-6］，另外，CB-样条曲线［7］Barsky构造的β样条曲线［8］，韩旭里等对三次均匀B样条曲线的扩展［9］，带形状参数的均匀B样条［10］及带形状参数的三角多项式均匀B样条［11］等，它们都可通过对形状参数改变调整曲线形状.以上各种方法美中不足的是当参数值改变时这些曲线整体变动，不能对曲线作局部调整.本文构造的四次带双参数均匀B样条，曲线既可作整体变动，又可局部调整，λ控制整条曲线位置，当λ固定时，各曲线段端点固定，改变参数μ可以对曲线段在保持端点不动的情况下进行局部调控.如果λ固定，改变参数μ且各曲线段μ取同一值时，所构造的曲线C1连续.如果λ固定，改变参数μ且各曲线段μ取不同值时，所构造的曲线G1连续.三次均匀B样条是本文特例.

1 曲线构造与连续性

定义1 对t∈［0，1］，λ，μ∈R，称关于t的多项式

定理2 (1)当μ=-1/2时，bi(t)(i=0，1，2，3)是文献［10］中的带形状参数四次均匀B样条基；(2)当λ=0，μ=-1/2时，bi(t)(i=0，1，2，3)是三次均匀B样条基.

证明 把μ=-1/2与λ=0，μ=-1/2代入(1)式计算可得(1)与(2).

图1分别给出了μ固定λ变动(a图)以及λ固定μ变动(b图)时，调配函数首尾相接的曲线图.

图1 调配函数图

由式(1)可以定义带双参数λ，μ的四次均匀B样条曲线.

定义2 给定控制点Pi∈Rd(d=2，3；i=±1，±2，…)和均匀节点… ＜ti＜ti+1＜…，对t∈［ti，ti+1］定义带双参数的四次均匀B样条曲线段：

定理3 由式(3)构造的曲线具有如下性质：

(1)当λ固定，μ改变且各曲线段μ取相同值时，曲线C1连续；

(2)当λ固定，各曲线段μ取不同值时，曲线G1连续.

证明 直接计算得

2 参数λ，μ对曲线的调控情况

定理4 当λ固定时，曲线段(2)端点固定，改变参数μ可以对曲线在保持端点不动的情况下进行局部调控.

证明 由定理3的证明中ri(λ，μ；0)与ri(λ，μ；1)可知，曲线段ri(λ，μ，ti)只与λ有关而与μ无关，故当λ固定时，曲线段端点固定.

图2分别给出了μ固定λ变动(a图)以及λ固定μ变动(b图)时，曲线段的变动情况示例图.

图2 形状参数影响效果图

3 曲线应用实例图

与三次均匀B样条曲线一样，对四次带双参数均匀B样条曲线若要求曲线以P1和Pn分别为起点和终点，并且在P1和Pn处的切线分别为P1P2和Pn-1Pn时，只要增加两个顶点P0=2P1-P2和Pn+1=2Pn-Pn-1，其中P0，P1，…，Pn+1是曲线(3) 的控制多边形.当要构造封闭曲线(P1=Pn)时，只要对控制多边形多取两个顶点Pn+1=P2，Pn+2=P3.

图3分别给出了μ固定λ变动的开曲线(a图)闭曲线(b图).

图3 μ=-1/2，λ=1，-0.8，-2.6，-4.4的开曲线闭曲线

图4 酒瓶效果图

图4中a图是μ=-1/2且λ=-3.2即文献［10］中λ=-3.2时带形状参数四次均匀B样条所构成的葡萄酒瓶，b图与c图是用本文基函数构造的λ=-3.2，μ变动所构成的不同形状的葡萄酒瓶.

4 小结

本文方法可以生成位于三次均匀B样条附近的不同曲线，C1连续.参数λ，μ都能调整曲线形状，λ控制整条曲线位置，当λ固定时，各曲线段端点固定，改变参数μ可以对曲线段在保持端点不动的情况下进行局部调控.如果λ固定，改变参数μ且各曲线段μ取同一值时，所构造的曲线C1连续.如果λ固定，改变参数μ且各曲线段μ取不同值时，所构造的曲线G1连续.当μ =-1/2时，就是文献［10］中的带形状参数四次均匀B样条基.三次均匀B样条是本文特例，当λ=0，μ=-1/2时，就是三次均匀B样条.所给图形实例说明运用本文方法进行曲线设计是很有效的.

［1］Gregory J A，Sarfraz M.A rational cubic spline with tension［J］.Computer Aided Geometric Design，1990，7(1/4)：1-13.

［2］Joe B.Multiple.Knot and rational cubic Beta-Splines［J］.ACM.Transactions on Graphics，1989，8(2)：100-200.

［3］Hoschek J.Lasser D.Fundamentals of Computer Aided Geometric Design［M］.Wellesley，MA：A K Peters，1993.

［4］Piegl L，Tiller W.The NURBS Book［M］.New York：Springer，1995：52-89.

［5］Goodman T N T.Constructing piecewise rational curves with Frenet frame continuity［J］.Computer Aided Geometric Design，1990，7(1/4)：15-31.

［6］Joe B.Quartic Beta-Splines［J］.ACM Transactions on Graphics，1990，9(3)：301-337.

［7］Jiwen Zhang.C-curves：An extension of cubic curves［J］.Computer Aided Gometric Design，1996，13(3)：199-217.

［8］Barsky B A.Computer Graphics and Geometric Modeling Using Beta_Spline［M］.Heidelberg：Springer-Verlag，1988：100-150.

［9］韩旭里，刘圣军.三次均匀B样条曲线的扩展［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2003，15(5)：576-578.

［10］王文涛，汪国昭.带形状参数的均匀B样条［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2004，16(6)：783-788.

［11］王文涛，汪国昭.带形状参数的三角多项式均匀 B样条［J］.计算机辅助设计与图形学学报，2004，28(7)：1192-1198.