例析“基本图形”的解题策略

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(安吉县实验初中教育集团 浙江安吉 313300)

《数学课程标准》指出“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识；图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动.围绕“基本图形”是“图形与几何”教学研究的核心之一，旨在使学生掌握分离、补形、构造等基本方法，能从较复杂的图形中分离出基本图形，并能分析其中的基本元素及其关系，直观地进行思考.

数学中的基本图形一般分为2种：课本中的概念、公式和定理所对应的图形可以称之为理论型基本图形；重要的题目所对应的图形可以称之为经验型基本图形，经验型基本图形一般都是由2个或2个以上的简单的理论型基本图形组合而成的[1].常用的基本图形有：平行线、角平分线、中垂线、特殊三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形、圆等.

学业考试考查基本图形往往以基本图形的叠加、隐藏、叠加与隐藏的综合、构造[2]等技术手段，增大图形的复杂程度，以此加大试题的难度.针对基本图形的命题设计理念、方法特点，一般基本图形的解题策略主要有分离、补形、分离与补形相结合、构造等.下面举例说明.

1 分离

一些试题把几个基本图形叠加在一起，以此增加图形的复杂度，干扰学生的分析，提高试题的难度.解决这类问题要善于从复杂图形中分离出基本图形,并应用其结论综合解决问题.

1.1 分离出等腰三角形：腰长相等

例1如图1，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为

( )

(2013年山东省淄博市数学学业考试题)

图1 图2 图3

分析本题实质叠加了2个基本图形(图2、图3)，这2个基本图形属同一种类型，因为角平分线与高重合，有结论：△ABE与△ACD是等腰三角形，所以Q,P分别是AE,AD中点，即PQ是△ADE的中位线，从而

故选C.

1.2 分离出等腰三角形：底角相等

例2如图4所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A=3，则∠A的度数是______．

(2013年浙江省绍兴市数学学业考试题)

图4 图5

分析本题图形看似复杂，但实质是叠加了多个等腰三角形，应用等腰三角形的性质(等腰三角形的2个底角相等以及三角形的1个外角等于与它不相邻的2个内角的和)不难求解.根据对称性，分离出如图5所示的基本图形.

设∠A=x，因为AP1=P1P2=P2P3=…=P7P8,所以

∠A=∠AP2P1=x，∠P2P1P3=∠P2P3P1=2x，…,∠P7P6P8=∠P6P8P7=7x，

同理可得

∠P8P9P7=∠P8P7P9=7x，

在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，

即

x+7x+7x=180°，

解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．

2 补形

有些试题隐藏着基本图形,解题时要能看到这些基本图形的“影子”,联想到相关图形，并把这些基本图形补完整,再应用相关的结论解决问题.

2.1 补圆中的半径：半径相等

例3如图6，过点D,A,C的圆的圆心为E，过点B,E,F的圆的圆心为D，如果∠A=63°，那么∠B=______.

(2012年山东省日照市数学学业考试题)

图6 图7

分析由圆的定义可知，圆上的点到圆心的距离相等，因此联结CE,DE，易知图7中隐含了3个等腰等腰三角形△BDE,△CDE和△ACE，由等腰三角形的性质与三角形外角性质可得

∠DEB=∠DBE=θ,∠DCE=∠CDE=2θ，∠AEC=3θ，∠ACE=∠A=63°.

由∠A+∠ACE+∠AEC=180°，可得∠B=18°.

2.2 补圆中的垂径：弦径垂直

(1)求证：CG是⊙O的切线;

(2)求证：AF=CF;

(3)若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

(2013年湖北省恩施州数学学业考试题)

图8 图9

(3)由△ADF∽△GDC即可得解.

3 补形与分离相结合

把一些基本图形隐藏，再叠加其他的基本图形，这类问题图形更复杂，难度更大.解决的策略是根据题中的条件信息先补出有关的基本图形，再分离基本图形，并利用其结论综合解决问题.

例5如图10，半圆O的直径AB=10 cm，弦AC=6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为

( ).

(2013年四川省内江市数学学业考试题)

例6如图13，以M(-5，0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于点A,B，而P是⊙M上异于A,B的一动点，直线PA,PB分别交y轴于点C,D，以CD为直径的⊙N与x轴交于点E,F，则EF的长为

( )

D.随点P位置的变化而变化

(2012年江苏省无锡市数学学业考试题)

图13 图14 图15

分析此题图形复杂，难度较大.考虑到直角坐标系两坐标轴互相垂直，CD是直径，由垂径定理可知EF=2OF;联结CF,DF，可补出隐含的图14，有结论OF2=OC·OD；而OC,OD分别在Rt△AOC,Rt△DOB中，由图15知Rt△AOC∽Rt△DOB，于是OC·OD=AO·BO=9，即EF=6.

4 构造

在对题目的分析过程中,由条件联想到有关基本图形,构造出相应的基本图形，利用其结论解决问题，事实上就是对学生创新能力的一种有效考查.

4.1 构造K型图：全等

例7如图16，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，联结PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，联结CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为______．

(2013年重庆市数学学业考试题)

图16 图17

4.2 构造K型图：相似

(2013年浙江省湖州市数学学业考试题)

图18 图19 图20

分析本题求点B运动的路径长，关键是确定点B运动的路径.初中阶段点运动的路径有2种：一种是直线，即点在运动过程中满足该点到定直线的距离不变；另一种是圆弧，即点在运动过程中满足该点到定点的距离不变.因此，求解本题的关键是分析点B在运动过程中满足的条件.由题中条件注意到在点B运动过程中∠APB=30°，BA⊥PA保持不变，可以联想到围绕∠PAB构造相似直角三角形(K型图)求解.

显然△AFP∽△BGA，于是

得

因为n是定值，所以点B到定线FG的距离不变，即点B运动的路径是直线型.由图20知，当点P与点O重合时，B1为起点，从而

当点P与点N重合时，B2为终点，从而

因此

显然△OAN∽△B1AB2,于是

解得

总的来说，基本图形在学业考试考查中主要围绕基本图形的叠加、隐藏、基本图形叠加与隐藏的综合应用，解决这类问题的关键是平时要做好基本图形的积累，加强分离、补形、构造的相关训练，掌握解决这类问题的基本策略.

参 考 文 献

[1] 林遂香.在初中数学教学中渗透基本图形法的案例分析[J].数理化学习，2011(8)：28-29.

[2] 钱卫华.基本图形在竞赛中应用[J].中等数学，2011(6)：1-3.