认清凹四边形的中点四边形的“真面目”

胡华春

探究一：请你画一个凹四边形ABCD，顺次连接各边中点E、F、G、H得中点四边形EFGH，请你说明它是一个平行四边形. 然后，请你探索当四边形EFGH为菱形时，原四边形ABCD应该满足什么条件.

证明：连接AC、BD， 如图1.在△ABC中，∵点E、F是中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥HG，EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形.要四边形EFGH是菱形，只需其邻边EF=FG.

在△BCD中，∵点F、G是中点，∴FG=BD. 又∵EF=AC，所以要EF=FG，只要AC=BD即可.所以，当凹四边形满足对角线相等时，中点四边形是菱形.

探究二：当中点四边形EFGH是正方形时，凹四边形ABCD应该满足什么条件？

证明：连接AC、BD，延长AC交FG于点M、交BD于点N，如图2.

当对角线满足垂直且相等时，四边形EFGH是正方形.

由探究一可知，当对角线AC=BD时，中点四边形一定是菱形. ∵△CBD中，点G、F是中点，∴GF∥BD，又∵AC⊥BD，∴AM⊥FG，∵△ACD中，点G、H是中点，∴GH∥AC，又AM⊥FG，∴HG⊥FG，∴中点四边形EFGH是正方形.

所以，当凹四边形满足对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形.

探究3：凹四边形的中点四边形的面积是原四边形面积的一半.

证明：连接AC，取AC中点O，连接OE、OH、EC，如图3. 在△ABC中，∵点E、O是中点，∴EO

=BC=CF，同理，OH

=CG，EH=FG，∴△OEH≌△CFG，从而，四边形EFGH的面积转化为四边形EFCO和HGCO的面积之和.

∵△AEO和△ECO等底同高，∴△AEO和△ECO面积相等，同理，△BEF和△CEF面积相等. 又EO=FC，EF=CO，EC=EC. 得△OEC≌△FCE. ∴四边形EFCO的面积是△ABC的面积的一半.

同理，四边形HGCO的面积是△ADC的面积的一半.

∴四边形EFGH的面积是凹四边形ABCD的面积的一半.

（作者单位：江苏省常熟市海虞中学）

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探究一：请你画一个凹四边形ABCD，顺次连接各边中点E、F、G、H得中点四边形EFGH，请你说明它是一个平行四边形. 然后，请你探索当四边形EFGH为菱形时，原四边形ABCD应该满足什么条件.

证明：连接AC、BD， 如图1.在△ABC中，∵点E、F是中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥HG，EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形.要四边形EFGH是菱形，只需其邻边EF=FG.

在△BCD中，∵点F、G是中点，∴FG=BD. 又∵EF=AC，所以要EF=FG，只要AC=BD即可.所以，当凹四边形满足对角线相等时，中点四边形是菱形.

探究二：当中点四边形EFGH是正方形时，凹四边形ABCD应该满足什么条件？

证明：连接AC、BD，延长AC交FG于点M、交BD于点N，如图2.

当对角线满足垂直且相等时，四边形EFGH是正方形.

由探究一可知，当对角线AC=BD时，中点四边形一定是菱形. ∵△CBD中，点G、F是中点，∴GF∥BD，又∵AC⊥BD，∴AM⊥FG，∵△ACD中，点G、H是中点，∴GH∥AC，又AM⊥FG，∴HG⊥FG，∴中点四边形EFGH是正方形.

所以，当凹四边形满足对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形.

探究3：凹四边形的中点四边形的面积是原四边形面积的一半.

证明：连接AC，取AC中点O，连接OE、OH、EC，如图3. 在△ABC中，∵点E、O是中点，∴EO

=BC=CF，同理，OH

=CG，EH=FG，∴△OEH≌△CFG，从而，四边形EFGH的面积转化为四边形EFCO和HGCO的面积之和.

∵△AEO和△ECO等底同高，∴△AEO和△ECO面积相等，同理，△BEF和△CEF面积相等. 又EO=FC，EF=CO，EC=EC. 得△OEC≌△FCE. ∴四边形EFCO的面积是△ABC的面积的一半.

同理，四边形HGCO的面积是△ADC的面积的一半.

∴四边形EFGH的面积是凹四边形ABCD的面积的一半.

（作者单位：江苏省常熟市海虞中学）

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探究一：请你画一个凹四边形ABCD，顺次连接各边中点E、F、G、H得中点四边形EFGH，请你说明它是一个平行四边形. 然后，请你探索当四边形EFGH为菱形时，原四边形ABCD应该满足什么条件.

证明：连接AC、BD， 如图1.在△ABC中，∵点E、F是中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理，GH∥AC，GH=AC，∴EF∥HG，EF=HG. ∴四边形EFGH是平行四边形.要四边形EFGH是菱形，只需其邻边EF=FG.

在△BCD中，∵点F、G是中点，∴FG=BD. 又∵EF=AC，所以要EF=FG，只要AC=BD即可.所以，当凹四边形满足对角线相等时，中点四边形是菱形.

探究二：当中点四边形EFGH是正方形时，凹四边形ABCD应该满足什么条件？

证明：连接AC、BD，延长AC交FG于点M、交BD于点N，如图2.

当对角线满足垂直且相等时，四边形EFGH是正方形.

由探究一可知，当对角线AC=BD时，中点四边形一定是菱形. ∵△CBD中，点G、F是中点，∴GF∥BD，又∵AC⊥BD，∴AM⊥FG，∵△ACD中，点G、H是中点，∴GH∥AC，又AM⊥FG，∴HG⊥FG，∴中点四边形EFGH是正方形.

所以，当凹四边形满足对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形.

探究3：凹四边形的中点四边形的面积是原四边形面积的一半.

证明：连接AC，取AC中点O，连接OE、OH、EC，如图3. 在△ABC中，∵点E、O是中点，∴EO

=BC=CF，同理，OH

=CG，EH=FG，∴△OEH≌△CFG，从而，四边形EFGH的面积转化为四边形EFCO和HGCO的面积之和.

∵△AEO和△ECO等底同高，∴△AEO和△ECO面积相等，同理，△BEF和△CEF面积相等. 又EO=FC，EF=CO，EC=EC. 得△OEC≌△FCE. ∴四边形EFCO的面积是△ABC的面积的一半.

同理，四边形HGCO的面积是△ADC的面积的一半.

∴四边形EFGH的面积是凹四边形ABCD的面积的一半.

（作者单位：江苏省常熟市海虞中学）

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