分式化简求值的深度探讨

陆炜锋

分式的化简求值是中考常考的类型，2013年江苏省13个地级市的中考数学试卷中，6个市考查了化简求值、5个市考查了纯化简、2市未考. 在全国的近两百份试卷中，出现化简求值题非常多. 本文将从全国的中考试卷中选取具有代表性的此类问题，进行深层探讨，以期对同学们有所帮助.

在进行化简运算时，书本第111页阐述得很明确：与分数混合运算类似，分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算.

例1 （湖北黄石卷改编）先化简，再计算：

÷·，其中a=2.

分析：本题是三个分式纯乘除的问题，解题原则是“哪个分式在前，先算哪个分式”，而实际操作时，一般都是先把除法转化成乘法（并把除式的分子、分母颠倒位置），再一起约分运算.本题还有一个要注意的地方，就是对于81-a2和9-a都要先变成相反数，这样计算比较方便.

解：原式=÷·（对于最高次项系数为负的，先变成相反数，并在前面添加负号，因本题有两个部分变成了相反数，正好互相抵消.）

=÷·（对能分解因式的项都要进行分解.）

=··（除法转化成乘法，除号后面的那个分式的分子、分母要交换位置.）

=（约分，即约去公因式.）

∴当a=2时，原式==. （将2代入化简后的分式.）

深度探讨：

第一，化简分式时，一定要化简得彻底，不能还存在公因式；

第二，分式的纯乘除运算，可以先因式分解，再把除法转化成乘法；也可以先将除法转化成乘法，再因式分解；

第三，对于其中有相反数的项，也可以在最后一步完成，但是约分时要分清哪些项是相反数，哪些项是一样的. a-9与9-a互为相反数；而a+9和9+a是一样的.

例2 （南通卷）先化简，再求代数式的值：

1-÷，其中m=1.

解：原式=

-1÷=·=.

∴当m=1时，原式=-.

深度探讨：

第一，对于整数1，我们是把它转化为；

第二，第一步在进行括号内运算时，后面的除式也在进行因式分解，也就是说在平时的解题时，可以省略掉若干过程.

例3 （辽宁锦州卷）先将

1-÷化简，然后请自选一个你喜欢的x值代入求值.

解：原式=÷=·=x+2.

∴当x=2时，原式=2+2=4.

深度探讨：本题好像和上题差不多，而实际上却暗藏陷阱.我们知道，分式有意义的条件是分母不等于0，仔细观察本题的化简过程，我们发现有三个因式在分母中：x、x+2、x-1，也就是说你不能取x=0、-2、1. 而一般情况下同学们都喜欢取0、1，因为计算比较简单；甚至有同学取-2，以为这样正好答案为0，其实都是陷阱.

跟踪练习：

1. 已知：a

+b+（2a-b+1）2=0，求÷

-1÷a

-.

2. 先化简：÷（a+1）+，然后a在-1、1、2三个数中选一个合适的数代入求值.

参考答案

1. 化简：-；其中a、b的值通过联立方程组得到，a=-，b=，结果是1.

2. ；a只能取2，结果是5.

（作者单位：江苏省海门市六甲中学）

endprint

分式的化简求值是中考常考的类型，2013年江苏省13个地级市的中考数学试卷中，6个市考查了化简求值、5个市考查了纯化简、2市未考. 在全国的近两百份试卷中，出现化简求值题非常多. 本文将从全国的中考试卷中选取具有代表性的此类问题，进行深层探讨，以期对同学们有所帮助.

在进行化简运算时，书本第111页阐述得很明确：与分数混合运算类似，分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算.

例1 （湖北黄石卷改编）先化简，再计算：

÷·，其中a=2.

分析：本题是三个分式纯乘除的问题，解题原则是“哪个分式在前，先算哪个分式”，而实际操作时，一般都是先把除法转化成乘法（并把除式的分子、分母颠倒位置），再一起约分运算.本题还有一个要注意的地方，就是对于81-a2和9-a都要先变成相反数，这样计算比较方便.

解：原式=÷·（对于最高次项系数为负的，先变成相反数，并在前面添加负号，因本题有两个部分变成了相反数，正好互相抵消.）

=÷·（对能分解因式的项都要进行分解.）

=··（除法转化成乘法，除号后面的那个分式的分子、分母要交换位置.）

=（约分，即约去公因式.）

∴当a=2时，原式==. （将2代入化简后的分式.）

深度探讨：

第一，化简分式时，一定要化简得彻底，不能还存在公因式；

第二，分式的纯乘除运算，可以先因式分解，再把除法转化成乘法；也可以先将除法转化成乘法，再因式分解；

第三，对于其中有相反数的项，也可以在最后一步完成，但是约分时要分清哪些项是相反数，哪些项是一样的. a-9与9-a互为相反数；而a+9和9+a是一样的.

例2 （南通卷）先化简，再求代数式的值：

1-÷，其中m=1.

解：原式=

-1÷=·=.

∴当m=1时，原式=-.

深度探讨：

第一，对于整数1，我们是把它转化为；

第二，第一步在进行括号内运算时，后面的除式也在进行因式分解，也就是说在平时的解题时，可以省略掉若干过程.

例3 （辽宁锦州卷）先将

1-÷化简，然后请自选一个你喜欢的x值代入求值.

解：原式=÷=·=x+2.

∴当x=2时，原式=2+2=4.

深度探讨：本题好像和上题差不多，而实际上却暗藏陷阱.我们知道，分式有意义的条件是分母不等于0，仔细观察本题的化简过程，我们发现有三个因式在分母中：x、x+2、x-1，也就是说你不能取x=0、-2、1. 而一般情况下同学们都喜欢取0、1，因为计算比较简单；甚至有同学取-2，以为这样正好答案为0，其实都是陷阱.

跟踪练习：

1. 已知：a

+b+（2a-b+1）2=0，求÷

-1÷a

-.

2. 先化简：÷（a+1）+，然后a在-1、1、2三个数中选一个合适的数代入求值.

参考答案

1. 化简：-；其中a、b的值通过联立方程组得到，a=-，b=，结果是1.

2. ；a只能取2，结果是5.

（作者单位：江苏省海门市六甲中学）

endprint

分式的化简求值是中考常考的类型，2013年江苏省13个地级市的中考数学试卷中，6个市考查了化简求值、5个市考查了纯化简、2市未考. 在全国的近两百份试卷中，出现化简求值题非常多. 本文将从全国的中考试卷中选取具有代表性的此类问题，进行深层探讨，以期对同学们有所帮助.

在进行化简运算时，书本第111页阐述得很明确：与分数混合运算类似，分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是：先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算.

例1 （湖北黄石卷改编）先化简，再计算：

÷·，其中a=2.

分析：本题是三个分式纯乘除的问题，解题原则是“哪个分式在前，先算哪个分式”，而实际操作时，一般都是先把除法转化成乘法（并把除式的分子、分母颠倒位置），再一起约分运算.本题还有一个要注意的地方，就是对于81-a2和9-a都要先变成相反数，这样计算比较方便.

解：原式=÷·（对于最高次项系数为负的，先变成相反数，并在前面添加负号，因本题有两个部分变成了相反数，正好互相抵消.）

=÷·（对能分解因式的项都要进行分解.）

=··（除法转化成乘法，除号后面的那个分式的分子、分母要交换位置.）

=（约分，即约去公因式.）

∴当a=2时，原式==. （将2代入化简后的分式.）

深度探讨：

第一，化简分式时，一定要化简得彻底，不能还存在公因式；

第二，分式的纯乘除运算，可以先因式分解，再把除法转化成乘法；也可以先将除法转化成乘法，再因式分解；

第三，对于其中有相反数的项，也可以在最后一步完成，但是约分时要分清哪些项是相反数，哪些项是一样的. a-9与9-a互为相反数；而a+9和9+a是一样的.

例2 （南通卷）先化简，再求代数式的值：

1-÷，其中m=1.

解：原式=

-1÷=·=.

∴当m=1时，原式=-.

深度探讨：

第一，对于整数1，我们是把它转化为；

第二，第一步在进行括号内运算时，后面的除式也在进行因式分解，也就是说在平时的解题时，可以省略掉若干过程.

例3 （辽宁锦州卷）先将

1-÷化简，然后请自选一个你喜欢的x值代入求值.

解：原式=÷=·=x+2.

∴当x=2时，原式=2+2=4.

深度探讨：本题好像和上题差不多，而实际上却暗藏陷阱.我们知道，分式有意义的条件是分母不等于0，仔细观察本题的化简过程，我们发现有三个因式在分母中：x、x+2、x-1，也就是说你不能取x=0、-2、1. 而一般情况下同学们都喜欢取0、1，因为计算比较简单；甚至有同学取-2，以为这样正好答案为0，其实都是陷阱.

跟踪练习：

1. 已知：a

+b+（2a-b+1）2=0，求÷

-1÷a

-.

2. 先化简：÷（a+1）+，然后a在-1、1、2三个数中选一个合适的数代入求值.

参考答案

1. 化简：-；其中a、b的值通过联立方程组得到，a=-，b=，结果是1.

2. ；a只能取2，结果是5.

（作者单位：江苏省海门市六甲中学）

endprint