“平行四边形”考点直击

季叶红

中心对称图形——平行四边形是初中数学重要的内容之一，也是历年中考必考的内容，现把历年来的中考考点归纳如下.

考点一 平行四边形的判定方法

例1 （2013·四川泸州）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）.

A. AB∥DC，AD∥BC

B. AB=DC，AD=BC

C. AO=CO，BO=DO

D. AB∥DC，AD=BC

【分析】根据平行四边形的定义，选项A中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，选项B中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，选项C中的条件能判定这个四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，选项D中的条件不能判定这个四边形是平行四边形.选D.

【点评】平行四边形的判定是本题的考查目标，关键要熟悉平行四边形的判定方法，并且结合图形判断.

考点二 平行四边形的性质

例2 （2012·泰安）如图2，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E. 若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（）.

A. 53° B. 37°

C. 47° D. 123°

【分析】由平行四边形可知两组对边互相平行，由平行可知同位角相等（∠B=∠EAD），最后根据直角三角形两锐角互余求得∠BCE的度数. 选B.

【点评】平行四边形的性质是本题的考查目标，掌握平行四边形的性质“两组对边分别平行”是解答本题的关键.

考点三 平行四边形常和三角形结合考查

例3 （2013·山东泰安）如图3，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）.

A. 2 B. 4

C. 4 D. 8

【分析】由AE为角平分线及AD∥BE得到一对角相等，利用等角对等边得到AD=DF，△ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF，得出AF=EF，即可求出AE的长.

解：∵AE为∠ABD的平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又∵F为DC的中点，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

AG=，则AF=2AG=2，

在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E

∠ADF=∠ECF

DF=CF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，则AE=2AF=4.

【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.

例4 （2013·湖北十堰）如图4，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是______.

【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE的长，即可求出AB的长.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=CD.

∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE=CD，即D为CE中点.

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°.

∵EF=，∴CE=2，

∴AB=1，故答案为1.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、平行线性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线性质、含30°角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目.

（作者单位：江苏省常熟市实验中学）

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中心对称图形——平行四边形是初中数学重要的内容之一，也是历年中考必考的内容，现把历年来的中考考点归纳如下.

考点一 平行四边形的判定方法

例1 （2013·四川泸州）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）.

A. AB∥DC，AD∥BC

B. AB=DC，AD=BC

C. AO=CO，BO=DO

D. AB∥DC，AD=BC

【分析】根据平行四边形的定义，选项A中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，选项B中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，选项C中的条件能判定这个四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，选项D中的条件不能判定这个四边形是平行四边形.选D.

【点评】平行四边形的判定是本题的考查目标，关键要熟悉平行四边形的判定方法，并且结合图形判断.

考点二 平行四边形的性质

例2 （2012·泰安）如图2，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E. 若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（）.

A. 53° B. 37°

C. 47° D. 123°

【分析】由平行四边形可知两组对边互相平行，由平行可知同位角相等（∠B=∠EAD），最后根据直角三角形两锐角互余求得∠BCE的度数. 选B.

【点评】平行四边形的性质是本题的考查目标，掌握平行四边形的性质“两组对边分别平行”是解答本题的关键.

考点三 平行四边形常和三角形结合考查

例3 （2013·山东泰安）如图3，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）.

A. 2 B. 4

C. 4 D. 8

【分析】由AE为角平分线及AD∥BE得到一对角相等，利用等角对等边得到AD=DF，△ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF，得出AF=EF，即可求出AE的长.

解：∵AE为∠ABD的平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又∵F为DC的中点，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

AG=，则AF=2AG=2，

在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E

∠ADF=∠ECF

DF=CF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，则AE=2AF=4.

【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.

例4 （2013·湖北十堰）如图4，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是______.

【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE的长，即可求出AB的长.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=CD.

∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE=CD，即D为CE中点.

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°.

∵EF=，∴CE=2，

∴AB=1，故答案为1.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、平行线性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线性质、含30°角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目.

（作者单位：江苏省常熟市实验中学）

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中心对称图形——平行四边形是初中数学重要的内容之一，也是历年中考必考的内容，现把历年来的中考考点归纳如下.

考点一 平行四边形的判定方法

例1 （2013·四川泸州）如图1，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）.

A. AB∥DC，AD∥BC

B. AB=DC，AD=BC

C. AO=CO，BO=DO

D. AB∥DC，AD=BC

【分析】根据平行四边形的定义，选项A中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，选项B中的条件能判定这个四边形是平行四边形；根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，选项C中的条件能判定这个四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，选项D中的条件不能判定这个四边形是平行四边形.选D.

【点评】平行四边形的判定是本题的考查目标，关键要熟悉平行四边形的判定方法，并且结合图形判断.

考点二 平行四边形的性质

例2 （2012·泰安）如图2，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E. 若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（）.

A. 53° B. 37°

C. 47° D. 123°

【分析】由平行四边形可知两组对边互相平行，由平行可知同位角相等（∠B=∠EAD），最后根据直角三角形两锐角互余求得∠BCE的度数. 选B.

【点评】平行四边形的性质是本题的考查目标，掌握平行四边形的性质“两组对边分别平行”是解答本题的关键.

考点三 平行四边形常和三角形结合考查

例3 （2013·山东泰安）如图3，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）.

A. 2 B. 4

C. 4 D. 8

【分析】由AE为角平分线及AD∥BE得到一对角相等，利用等角对等边得到AD=DF，△ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，在Rt△ADG中，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由△ADF≌△ECF，得出AF=EF，即可求出AE的长.

解：∵AE为∠ABD的平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又∵F为DC的中点，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

AG=，则AF=2AG=2，

在△ADF和△ECF中，

∠DAF=∠E

∠ADF=∠ECF

DF=CF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，则AE=2AF=4.

【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.

例4 （2013·湖北十堰）如图4，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是______.

【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE的长，即可求出AB的长.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=CD.

∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE=CD，即D为CE中点.

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°.

∵EF=，∴CE=2，

∴AB=1，故答案为1.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、平行线性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线性质、含30°角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目.

（作者单位：江苏省常熟市实验中学）

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