让例题的“根”扎得更深

支耀红

苏科版八（下）87页例题：

已知，如图1，在四边形ABCD中，AC=BD， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是菱形.

【分析】要证四边形EFGH是菱形，根据条件需从边着手分析，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，可联想到三角形的中位线定理，从而EF、FG、GH、EH的关系就明确了，此题也便得证.

证明：∵E为AB的中点，F为BC的中点，

在△BAC中，

∴EF=AC（三角形的中位线等于第三边的一半）.

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.

∵AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE.

∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

若在上述问题中，去掉条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形呢？

证明：连接AC.

在△BAC中，∵E为AB的中点，F为BC的中点，

∴EF∥AC且EF=AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.

同理GH∥AC，且GH=AC.

∴EF∥GH且EF=GH.

∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

归纳：顺次连接四边形各边中点所得的四边形都为平行四边形.

探究1 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接它的各边中点能得到什么图形？

【分析】如图2，易知四边形EFGH是平行四边形，又由于AC⊥BD，故可证∠HEF是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形EFGH是矩形.

探究2 （1） 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_____________；

（2） 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是_____________；

（3） 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是_____________；

（4） 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是_____________.

【分析】根据题意画出图形，如图3，4，5，6. 因为矩形、等腰梯形的对角线相等，所以顺次连接矩形或等腰梯形各边中点的四边形是菱形；因为菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形；因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以顺次连接正方形各边中点所得的四边形既是菱形又是矩形，即为正方形.

探究3 （1） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是菱形，则原四边形是什么图形？（2） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是矩形，则原四边形是什么图形？（3） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是正方形，则原四边形是什么图形？

【分析】（1）中的原四边形是矩形吗？由图1知不一定是矩形，原四边形只要满足对角线相等即可；（2）中的原四边形一定是菱形吗？由图2知，原四边形只要满足对角线互相垂直即可；（3）中的原四边形一定是正方形吗？由图7知，原四边形只要满足对角线相等且互相垂直即可.

探究4 如图8，在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，问四边形PQMN是什么图形？

【分析】要知道四边形PQMN的形状，关键在于四边形ABCD的对角线有何关系，故需要连接AC、BD. 由于△ADE和△BCE都是等边三角形，可知AE=DE，EC=EB. 我们可以利用SAS证明△AEC≌△DEB，从而得到AC=BD. 故四边形PQMN是菱形.

解：四边形PQMN是菱形.

理由：连接AC、BD.

在△CBD中，∵M为CD的中点，Q为BC的中点，

∴MQ=BD（三角形的中位线等于第三边的一半）.

同理NP=BD，MN=AC，PQ=AC.

∵△ADE、△BCE是等边三角形，

∴AE=DE ， BE=CE，∠AED=∠BEC=60°.

∴∠AEC=∠DEB=120°.

在△AEC和△DEB中

AE=DE，

∠AEC=∠DEB，

EC=EB.

∴△AEC≌△DEB（SAS）. ∴AC=BD.

∴MQ=MN=NP=PQ.

∴四边形PQMN是菱形.

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）

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苏科版八（下）87页例题：

已知，如图1，在四边形ABCD中，AC=BD， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是菱形.

【分析】要证四边形EFGH是菱形，根据条件需从边着手分析，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，可联想到三角形的中位线定理，从而EF、FG、GH、EH的关系就明确了，此题也便得证.

证明：∵E为AB的中点，F为BC的中点，

在△BAC中，

∴EF=AC（三角形的中位线等于第三边的一半）.

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.

∵AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE.

∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

若在上述问题中，去掉条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形呢？

证明：连接AC.

在△BAC中，∵E为AB的中点，F为BC的中点，

∴EF∥AC且EF=AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.

同理GH∥AC，且GH=AC.

∴EF∥GH且EF=GH.

∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

归纳：顺次连接四边形各边中点所得的四边形都为平行四边形.

探究1 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接它的各边中点能得到什么图形？

【分析】如图2，易知四边形EFGH是平行四边形，又由于AC⊥BD，故可证∠HEF是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形EFGH是矩形.

探究2 （1） 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_____________；

（2） 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是_____________；

（3） 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是_____________；

（4） 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是_____________.

【分析】根据题意画出图形，如图3，4，5，6. 因为矩形、等腰梯形的对角线相等，所以顺次连接矩形或等腰梯形各边中点的四边形是菱形；因为菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形；因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以顺次连接正方形各边中点所得的四边形既是菱形又是矩形，即为正方形.

探究3 （1） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是菱形，则原四边形是什么图形？（2） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是矩形，则原四边形是什么图形？（3） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是正方形，则原四边形是什么图形？

【分析】（1）中的原四边形是矩形吗？由图1知不一定是矩形，原四边形只要满足对角线相等即可；（2）中的原四边形一定是菱形吗？由图2知，原四边形只要满足对角线互相垂直即可；（3）中的原四边形一定是正方形吗？由图7知，原四边形只要满足对角线相等且互相垂直即可.

探究4 如图8，在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，问四边形PQMN是什么图形？

【分析】要知道四边形PQMN的形状，关键在于四边形ABCD的对角线有何关系，故需要连接AC、BD. 由于△ADE和△BCE都是等边三角形，可知AE=DE，EC=EB. 我们可以利用SAS证明△AEC≌△DEB，从而得到AC=BD. 故四边形PQMN是菱形.

解：四边形PQMN是菱形.

理由：连接AC、BD.

在△CBD中，∵M为CD的中点，Q为BC的中点，

∴MQ=BD（三角形的中位线等于第三边的一半）.

同理NP=BD，MN=AC，PQ=AC.

∵△ADE、△BCE是等边三角形，

∴AE=DE ， BE=CE，∠AED=∠BEC=60°.

∴∠AEC=∠DEB=120°.

在△AEC和△DEB中

AE=DE，

∠AEC=∠DEB，

EC=EB.

∴△AEC≌△DEB（SAS）. ∴AC=BD.

∴MQ=MN=NP=PQ.

∴四边形PQMN是菱形.

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）

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苏科版八（下）87页例题：

已知，如图1，在四边形ABCD中，AC=BD， E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是菱形.

【分析】要证四边形EFGH是菱形，根据条件需从边着手分析，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，可联想到三角形的中位线定理，从而EF、FG、GH、EH的关系就明确了，此题也便得证.

证明：∵E为AB的中点，F为BC的中点，

在△BAC中，

∴EF=AC（三角形的中位线等于第三边的一半）.

同理FG=BD，GH=AC，HE=BD.

∵AC=BD，

∴EF=FG=GH=HE.

∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）.

若在上述问题中，去掉条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形呢？

证明：连接AC.

在△BAC中，∵E为AB的中点，F为BC的中点，

∴EF∥AC且EF=AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.

同理GH∥AC，且GH=AC.

∴EF∥GH且EF=GH.

∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

归纳：顺次连接四边形各边中点所得的四边形都为平行四边形.

探究1 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接它的各边中点能得到什么图形？

【分析】如图2，易知四边形EFGH是平行四边形，又由于AC⊥BD，故可证∠HEF是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形EFGH是矩形.

探究2 （1） 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是_____________；

（2） 顺次连接菱形各边中点所得的四边形是_____________；

（3） 顺次连接正方形各边中点所得的四边形是_____________；

（4） 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是_____________.

【分析】根据题意画出图形，如图3，4，5，6. 因为矩形、等腰梯形的对角线相等，所以顺次连接矩形或等腰梯形各边中点的四边形是菱形；因为菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接菱形各边中点的四边形是矩形；因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以顺次连接正方形各边中点所得的四边形既是菱形又是矩形，即为正方形.

探究3 （1） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是菱形，则原四边形是什么图形？（2） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是矩形，则原四边形是什么图形？（3） 如果顺次连接一个四边形各边的中点所成的四边形是正方形，则原四边形是什么图形？

【分析】（1）中的原四边形是矩形吗？由图1知不一定是矩形，原四边形只要满足对角线相等即可；（2）中的原四边形一定是菱形吗？由图2知，原四边形只要满足对角线互相垂直即可；（3）中的原四边形一定是正方形吗？由图7知，原四边形只要满足对角线相等且互相垂直即可.

探究4 如图8，在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、Q、M、N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，问四边形PQMN是什么图形？

【分析】要知道四边形PQMN的形状，关键在于四边形ABCD的对角线有何关系，故需要连接AC、BD. 由于△ADE和△BCE都是等边三角形，可知AE=DE，EC=EB. 我们可以利用SAS证明△AEC≌△DEB，从而得到AC=BD. 故四边形PQMN是菱形.

解：四边形PQMN是菱形.

理由：连接AC、BD.

在△CBD中，∵M为CD的中点，Q为BC的中点，

∴MQ=BD（三角形的中位线等于第三边的一半）.

同理NP=BD，MN=AC，PQ=AC.

∵△ADE、△BCE是等边三角形，

∴AE=DE ， BE=CE，∠AED=∠BEC=60°.

∴∠AEC=∠DEB=120°.

在△AEC和△DEB中

AE=DE，

∠AEC=∠DEB，

EC=EB.

∴△AEC≌△DEB（SAS）. ∴AC=BD.

∴MQ=MN=NP=PQ.

∴四边形PQMN是菱形.

（作者单位：江苏省常熟市外国语初级中学）

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