感悟高考 突破高考 引领高考——2014年安徽省数学高考理科第18题阅卷感悟

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(淮北市第一中学 安徽淮北 235000)

1 背景分析

2014年6月10日～19日，笔者有幸参加了安徽省网上阅卷工作，所阅的是数学理科卷第18题(即文科卷第20题).从阅卷结果来看，本题安徽省理科平均分约4.5分，文科约2.1分.在阅卷之余，笔者思考：面对这样的答题情况，教师该如何教学？由此，笔者对学生的答题情况进行了分析，并把学生所犯的错误进行了归纳，以期为我们的教学提供借鉴与帮助.

2 试题回顾

例1设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3(其中a>0).

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值.

(2014年安徽省数学高考理科试题第18题)

解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞)，对f(x)求导得

f′(x)=1+a-2x-3x2.

令f′(x)=0，得

方法1可知f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).当xx2时,f′(x)<0；当x10,从而f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.

方法2对x,f′(x)和f(x)进行讨论(如表1所示)：

表1 对x,f ′(x)和f (x)的分析

由表1可知：f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.

(2)因为a>0，所以x1<0,x2>0.

①当a≥4时，x2≥1.结合第(1)小题知，f(x)在[0,1]上单调递增，从而当x=0时，f(x)取得最小值，当x=1时，f(x)取得最大值.

本题是函数与导数问题的综合题，紧扣考纲要求，主要考查了三次函数的图像与性质、导数运算及其应用、函数单调性及最值的求法，以及函数与方程的思想、转化化归的思想和分类讨论的思想.纵观安徽省近几年的考题，在函数与方程的考查中，多以有理函数、指数、对数函数、三角函数等有关的参数问题为主，考查导数在解决函数单调性、极值、最值等问题中的应用，注重基本思想和基本方法的考查.本题的难度不大，但是从阅卷情况来看，学生得分情况却不容乐观,主要在于求导不正确、计算与化简错误、审题不清等方面.

3 考生出现的错误及其分析

从阅卷情况来看，学生的错误主要有以下几种类型：

(1)方法性错误.

有的考生直接任取x1

(2)函数定义域求错.

有些考生受思维定式的影响，没有认真看题，见到a>0就误以为函数的定义域是(0,+∞)，在判定函数单调性及解决第(2)小题时，把a的范围当成了R来讨论，于是就出现了对Δ=4+12(a+1)=12a+16进行讨论，这是学生审题不清所致.在平时的教学中，教师应该增强学生的审题意识.笔者在教学中发现总有一部分学生习惯于剪下题目贴到笔记本上，这其实是一种很不好的学习习惯.笔者认为记笔记时把题目手抄一遍有利于学生审题能力的培养.

(3)求导错误.

常见的有以下几种错误求导方式：

①f′(x)=1+(1+a)-2x-3x2=2+a-2x-3x2；

②f′(x)=(1+a)-2x-2x2=1+a-2x-2x2；

③f′(x)=1+a-2x-3x=1+a-5x；

④f′(x)=1+a-x-x2；

⑤f′(x)=1+a-2x-x2；

⑥f′(x)=1+a-2x-3x2=-(3x2+2x+1-a)；

等等.

本题考查了最常用的幂函数求导公式，并不难掌握，平时教学中也是经常强调，但学生仍然犯这种低级的错误：一方面是紧张的考试环境，导致学生思维“短路”；另一方面也给我们的复习指导找到了方向，这个方向就是高考前期要回归课本，要追本溯源，多看看教材中的基本概念、基本公式、基本定理以及知识的产生过程.

(4)方程f′(x)=1+a-2x-3x2=0的根求错.

一些学生采用配方法解方程1+a-2x-3x2=0或不等式1+a-2x-3x2<0(>0),但是在配方时出现一些错误，常数配错或符号写反.

还有些考生对求根公式记忆模糊不清、公式代入错误、化简不正确等，比如阅卷中发现了以下结果：

化简时没有注意到正负号的变化规律.

代入公式时没有弄清楚二次项、一次项及常数项.若考生能够将方程式按照x的降幂排列，再代入公式，则可以避免该类错误.

错把二次函数顶点的纵坐标当成了求根公式.

化简时出错.

或

根的判别式代入错误.

从阅卷情况来看，相当一部分考生对最后的结果都没有化简，真正能把结论化简、问题完成的少之又少.

通过凡此种种的错误，我们发现：学生的基本运算能力有待于进一步提高，学生的思维能力相对于计算能力而言已经达到了一定的水平，制约学生得分的关键因素仍然是运算能力！

(5)语言表述不规范.

值得说明的是，单调区间在x1,x2一端写成开区间或闭区间没有关系,写成f′(x)>0(<0)或f′(x)≥0(≤0)也不作追究.

(6)单调区间求错.

单调区间写错的考生主要有2种类型：

①考生是把单调区间写反了，主要是因为考生在解不等式f′(x)<0时进行了以下的运算：

由f′(x)<0得

1+a-2x-3x2<0,

即

3x2+2x-(a+1)>0,

解得(-∞,x1)∪(x2,+∞).由于受到3x2+2x-(a+1)>0的影响，而忽视了前提是f′(x)<0，于是就得到递增区间为(-∞,x1)和(x2,+∞)，同时得到递减区间为(x1,x2)，这是学生解题习惯所致的错误.

负号写到分母上去了，这样x1就写成了x2！

由于第(1)小题的计算错误，使得很多考生在第(2)小题中的得分很低，甚至不得分.如在第(1)小题中，考生将f′(x)的2个零点写成

则得到当a>0时，

从而f(x)在x∈[0,1]上单调递增，这种情况下考生是得不到分的.

再如：有考生求导错误，求得f′(x)=2+a-2x-3x2，在接下来的做题中，思路和方法都和原问题相同，只是计算的数据错误，按照评分要求，考生只能得到思路分，很可惜.

一部分学生在第(1)小题正确解方程的基础上，也能够在第(2)小题中拿到一定的分数.这时犯错的考生主要表现在以下几个方面：

①讨论不够准确.没有注意到x1<0，x2>0，从而错误地对x1,x2与0的大小关系进行讨论.

③在回答问题时没有注意到题目所问.要求的是“取得最大值和最小值时x的值”，而不是函数的“最大值和最小值”！

④语言表述上不够规范.如f(x)取得最小值时x=1写成“xmin=1，f(x)取得最小值”或“最小值为f(1)min”.

⑤没有对a=1进行单独讨论.

还有些考生书写混乱：数学答题强调有理有据，但总有部分考生随心所欲，天马行空，书写没有层次感，严重缺乏逻辑性，不利于考生有条理地思考与解答，也不利于阅卷教师采分.

4 几点建议

针对以上问题，笔者认为在日常教学中，教师要做到：

(1)常规工作做扎实，查漏补缺.在平时的教学中，学生一听就会的问题，可以在习题课上板书1～2个题目，课后适当留下练习，让学生当作测验去做，及时认真批改作业，并根据学生做的情况，对于学生出错较多的问题集中点评.

(2)给学生足够的时间与爱.对学生提出的问题及时解答，并与其一起讨论，激发学生对数学的求知欲及兴趣，为学生解疑答惑.

(3)有效措施助力高考：

①回归课本.近几年安徽省的考题区分度较大，针对数学学科的特点，教师不可能靠猜题去打高考这场仗，而应该回归课本.这几年大纲强调课本，2013年、2014年的试题也充分反映了这一趋势.学校可以给每个教师配一套人教版和沪科版的教材，教师讲新课时，同步把课后一些较好的题目进行讲解.

②专项专攻.如晚自习之前利用一节课只考小题或只有大题，及时面改.这样学习的效果较好，或者尽量在晚自习前，找学生到办公室做几个题目，有利于提高学生的学习积极性和做题的正确率.

③大胆创新，引进先进经验.高中数学重在学生能力的培养，因此教师应该多教会学生如何分析问题、简化问题，讲课时可以让学生展示一下题目的思路.

另外，教师也可以自己大胆地创题，多走出去学习和交流.

总之，机会总是留给有准备的人.引领高考，需要我们做一个有理想、有目标、有胆识、勇于学习、努力钻研的有心人.