区间犹豫模糊熵应用于地方高等教育发展研究

胡冠中，周志刚

天津大学 管理与经济学部，天津 300072

区间犹豫模糊熵应用于地方高等教育发展研究

胡冠中，周志刚

天津大学 管理与经济学部，天津 300072

1 引言

由于客观世界的复杂性和人类认知能力的有限性，使得人们在进行决策时常常对信息的认知很模糊和不确定。于是Zadeh[1]提出了模糊集理论，该理论在现代社会的各个领域得到了广泛的应用。文献[2-3]引入了区间值模糊集、直觉模糊集、粗糙集的概念。然而，当人们做决定时，通常会犹豫和踌躇不定，这使得决策结果难以达成一致。通常情况下，为了得到更多合理的决策结果，使得决策结果更加全面，决策信息通常不是很确定一个确定的值，而是由几个值构成。于是Torra[4-5]把模糊集扩展成犹豫模糊集，它描述了决策时犹豫不决的情形。陈楠等[6-7]将犹豫模糊集推广至区间的形式，给出了区间犹豫模糊集的概念。

模糊信息论是利用模糊数学这一工具来研究带有模糊不确定性的信息，熵是模糊信息论中重要的度量方法。然而信息熵的定义具有客观性，无法描述主观意义上对事物的判断差别，从而淹没了个别事件的重要性。加权熵通过引入对事件重要性的权重来体现事件的重要性。Wu和Zhang[8]基于每个元素的重要性程度不同，提出了直觉模糊加权熵的概念，并将其应用于直觉模糊多属性决策问题中。Ye[9]提出了一种基于直觉模糊交叉熵的多属性模糊决策方法。Grzegorzewski[10]与Hung和Yang[11]依据Hausdorff测度提出了一系列的直觉模糊相似度和区间模糊相似度的公式。文献[12]类比于直觉模糊交叉熵，引入了区间直觉模糊交叉熵的概念。文献[13]给出了犹豫模糊熵和犹豫模糊交叉熵的概念，研究了两者间的相互关系，并提出了两种新的多属性群决策方法。文献[14]给出了区间犹豫模糊熵的公理化定义。本文首先构建了一种新的区间犹豫模糊熵公式，并予以证明；接着，给出了区间犹豫模糊距离测度的公理性定义，同时研究了区间犹豫模糊距离测度与区间犹豫模糊熵和交叉熵间的关系，并建立了新的交叉熵公式；最后，基于区间犹豫模糊熵、交叉熵以及交叉熵贴近度，提出了一种新的多属性决策方，并将其应用于地方高等教育发展研究的过程中。

2 基本概念

定义2.1[6-7]令 X为一给定集合，D[0，1]表示区间[0，1]上的所有闭子区间构成的集合。集合X上的区间犹豫模糊集形式如下：

3 一种区间犹豫模糊加权熵公式的构造

区间犹豫模糊元中的每个元素是由不同的决策者给出的，在决策过程中不同的决策者的重要性程度通常是不同的，因此在计算区间犹豫模糊元的熵时，应根据决策者的作用大小赋予其所提供的信息不同的权重wj(wj＞0)。据此，设为一个区间犹豫模糊元，构建如下新的区间犹豫模糊加权熵公式：

证明要证明 E为区间犹豫模糊元的熵，须证E满足定义3.1中的四个条件。为此，首先构造二元函数如下：

下面将依据s的大小进行分情况讨论：

4 区间犹豫模糊距离测度

本章将给出区间犹豫模糊距离测度的公理化条件，并探讨了区间犹豫模糊距离测度分别与区间犹豫模糊熵和区间犹豫模糊交叉熵之间的关系。

5 基于区间犹豫模糊加权熵的多属性决策方法

本章将讨论在专家权重已知条件下，基于区间犹豫模糊加权熵，处理属性权重信息完全未知的多属性群决策问题。运用备选方案与理想方案间的区间犹豫模糊加权交叉熵以及交叉熵贴近度，提出一种新多属性群决策方法，并且将提出的方法运用于地方高等教育发展研究过程中。

假设现有 m个方案 X={x1，x2，…，xm}，n个属性U= {u1，u2，…，un}，一组专家 e={e1，e2，…，el}依据属性集 X给出各个备选方案的偏好值。由于这组专家来自不同的领域，因此在进行决策时的每个专家的重要程度，假设 w=(w1，w2，…，wl)T为这组专家的已知权重向量，并且每个专家提供的决策信息是以区间犹豫模糊数的形式给出的。令H=(ij)m×n为这组专家提供的决策矩阵，其中ij为一个区间犹豫模糊元，表示专家们在属性uj下对备选方案xi的偏好值的集合。属性权重信息是完全未知的，假设属性权重向量为 ω =(ω1，ω2，…，ωn)T，满足。由于属性权重完全未知，接下来将运用上文所构造的加权熵和加权交叉熵公式，提出一种新的决策方法：

步骤1依据专家组提供的决策信息，构造区间犹豫模糊决策矩阵 H=()m×n。

步骤2根据信息决策矩阵 H=()m×n及已知的专家权重向量 w=(w1，w2，…，wl)T，计算属性权重如下：

步骤5依据交叉熵贴近度Ti(i=1，2，…，m)的大小对各备选方案 xi(i=1，2，…，m)的优劣顺序进行排列。Ti越大，对应的备选方案就越好，最终选出最优的方案。

例 为了响应十八大提出的要努力办好人民满意的教育的号召，某一省份教育主管部门对其所属的三所高校x1、x2和x3的高等教育发展综合满意度进行评估，将分别从以下几个方面进行评估：u1是人才培养；u2是就业率；u3是对当地社会经济的促进作用；u4是社会政治的稳定，最终选择出满意度最高的地方高校。为了决策的民主性和权威性，当地教育主管部分聘请了三个不同领域的专家，从上述四个方面分别对这三所地方性高校的满意度进行评估，三个专家的权重向量为w=(0.25，0.45，0.30)T。决策信息以区间犹豫模糊数的形式给出，整理得到区间犹豫模糊信息（表1）。接下来，基于提出的决策方法选择满意度最高的高校。

步骤1依据决策者所提供的决策信息用，构建决策矩阵 H=(ij)3×4，如表 1所示。

步骤2根据信息决策矩阵 H=(～ij)3×4及三个专家的权重向量w=(0.25，0.45，0.30)T，利用公式（6）（取 s=2），计算得到属性权重如下：

表1 区间值犹豫模糊集决策矩阵H=(ij)3×4

表1 区间值犹豫模糊集决策矩阵H=(ij)3×4

u1 u2 u3 u4 x1 x2 x3 {[0.2，0.2]，[0.3，0.4]，[0.5，0.6]} {[0.1，0.2]，[0.3，0.3]，[0.4，0.6]} {[0.2，0.3]，[0.5，0.5]，[0.6，0.6]} {[0.3，0.5]，[0.4，0.6]，[0.7，0.8]} {[0.4，0.5]，[0.4，0.6]，[0.5，0.6]} {[0.4，0.5]，[0.6，0.8]，[0.7，0.9]} {[0.4，0.5]，[0.5，0.6]，[0.6，0.7]} {[0，0.1]，[0.2，0.2]，[0.3，0.4]} {[0.5，0.6]，[0.6，0.7]，[0.6，0.8]} {[0.3，0.5]，[0.5，0.6]，[0.6，0.7]} {[0.1，0.1]，[0.2，0.2]，[0.2，0.3]} {[0，0.2]，[0.1，0.3]，[0.3，0.4]}

表2 区间值犹豫模糊集决策矩阵 H′=(′ij)3×4及正、负理想方案

表2 区间值犹豫模糊集决策矩阵 H′=(′ij)3×4及正、负理想方案

u1 u2 u3 u4 x1 x2 x3 x+ x-{[0.5，0.6]，[0.3，0.4]，[0.2，0.2]} {[0.4，0.6]，[0.3，0.3]，[0.1，0.2]} {[0.6，0.6]，[0.5，0.5]，[0.2，0.3]} {[0.6，0.6]，[0.5，0.5]，[0.2，0.3]} {[0.4，0.6]，[0.3，0.3]，[0.1，0.2]} {[0.7，0.8]，[0.4，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.5，0.6]，[0.4，0.6]，[0.4，0.5]} {[0.7，0.9]，[0.6，0.8]，[0.4，0.5]} {[0.7，0.9]，[0.6，0.8]，[0.4，0.5]} {[0.5，0.6]，[0.4，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.4，0.5]} {[0.3，0.4]，[0.2，0.2]，[0，0.1]} {[0.6，0.8]，[0.6，0.7]，[0.5，0.6]} {[0.6，0.8]，[0.6，0.7]，[0.5，0.6]} {[0.3，0.4]，[0.2，0.2]，[0，0.1]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.2，0.3]，[0.2，0.2]，[0.1，0.1]} {[0.3，0.4]，[0.1，0.3]，[0，0.2]} {[0.6，0.7]，[0.5，0.6]，[0.3，0.5]} {[0.2，0.3]，[0.1，0.2]，[0，0.1]}

步骤3运用公式（7）和（8），计算三所高校的正交叉熵C和负交叉熵C：

步骤4基于公式（9），计算三所地方性高校的交叉熵贴近度 Ti(i=1，2，3)：

步骤5由于T1＞T3＞T2，因此对应的三所高校的综合满意度优劣顺序为：x1≻x3≻x2，即高校x1的高等教育发展综合满意度最高，综合表现最优。

为了研究本文所提出的区间犹豫模糊多属性群决策方法的可行性和有效性，将采用文献[15]中的决策方法对实例进行处理，并进行对比分析。基于文献[15]中提出的决策方法选择满意度最高的高校步骤如下：

步骤1构造区间犹豫模糊信息矩阵 H′=(～′ij)3×4，如表2所示，表2中的区间犹豫模糊元～′ij中的元素均按降序进行排列。

步骤2根据得到的决策信息矩阵，运用文献[15]中的公式（2）和熵公式（4），计算属性权重向量，结果如下：

步骤3构建正、负理想方案 x+={1，2，3，4}和 x-= {γ～1，γ～2，γ～3，γ～4}，结果如表 2 所示。利用文献[15]中的公式（1）、（5）和（6）计算三所地方性高校 xi(i=1，2，3)与正、负理想方案的区间犹豫模糊三角相似度，可得：

步骤4运用文献[15]中的公式（7）计算三所地方性高校 xi(i=1，2，3)与理想方案的贴近度Ci(i=1，2，3)为：

步骤5由于C1＞C3＞C2，则这三所地方性高校的排序为 x1≻x3≻x2，最优方案为 x3。

分析以上两种决策过程可知，分别采用本文的决策方法和文献[15]提出的决策方法，得到的决策结果是一致的。但是会发现，本文提出的决策方法过程更加简单，计算过程更加简洁。因此本文提出的决策方法是可行的和有效的。

6 结束语

本文首先构造了一种新的区间犹豫模糊熵的公式，并证明其满足熵的四个公理化定义；接着，给出了区间犹豫模糊元间距离测度的公理化定义，并研究了距离测度与熵、交叉熵之间的关系，进而构建了区间犹豫模糊加权交叉熵公式；最后对于属性权重信息完全未知，属性值为区间犹豫模糊数的多属性决策问题给出了一种新的决策方法，通过算例进行实例分析，并与其他决策方法进行对比分析，结果表明本文提出的决策方法是有效可行的，该方法有效地推广了信息熵在区间犹豫模糊多属性决策问题中的应用。

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[7]Chen N，Xu Z S，Xia M M.Correlation coefficients of hesitant fuzzy sets and their applications to clustering analysis[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37：2197-2211.

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HU Guanzhong,ZHOU Zhigang

College of Management and Economics,Tianjin University,Tianjin 300072,China

The new interval-valued hesitant fuzzy entropy and cross-entropy are constructed,and it develops a new approach for interval-valued hesitant fuzzy multi-attribute group decision-making problems,which is applied to the local higher education development research.The paper constructs a new interval-valued hesitant fuzzy entropy formula,and proves that it satisfies axiomatic requirements of interval-valued hesitant entropy.The axiomatic definition of distance measures between interval-valued hesitant fuzzy elements is proposed,and the relationships among the interval-valued hesitant fuzzy distance measures,interval-valued hesitant fuzzy entropy and interval-valued hesitant fuzzy cross-entropy are studied,and then it develops a new interval-valued hesitant fuzzy cross-entropy formula.Based on interval-valued hesitant fuzzy entropy, cross-entropy and cross-entropy relative closeness,a new method for multi-attribute group decision making problems is proposed under interval-valued hesitant fuzzy environment,which applies it to the local higher education development research to demonstrate its practicality and effectiveness.

interval-valued hesitant fuzzy element;weighted entropy;distance measure;weighted cross-entropy;multiattribute group decision making

构造了新的区间犹豫模糊熵、交叉熵公式，提出了一种新的区间犹豫模糊多属性群决策方法，并将其应用于地方高等教育发展研究的过程中。构建了一种新的区间犹豫模糊熵公式，并证明其满足区间犹豫模糊熵的公理化条件；给出了区间犹豫模糊距离测度的公理性定义，研究了区间犹豫模糊距离测度和区间犹豫模糊熵、交叉熵的关系，并构建了区间犹豫模糊加权交叉熵公式。在区间犹豫模糊环境下，基于区间犹豫模糊熵、交叉熵以及交叉熵贴近度，提出了一种新的属性权重未知的多属性决策方法，并将其应用于对地方高等教育发展研究的过程中，验证该方法的可行性和有效性。

区间犹豫模糊元；加权熵；距离测度；加权交叉熵；多属性群决策

A

O22

10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0328

HU Guanzhong,ZHOU Zhigang.Interval-valued hesitant fuzzy entropy and its application to local higher education development research.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：26-30.

教育部科学研究重大课题攻关项目（No.11JZD038）。

胡冠中（1985—），通讯作者，博士研究生，研究方向：管理科学、区域经济；周志刚（1950—），博士，教授，博士生导师，研究方向：管理科学、人力资源开发与管理。E-mail：shexian19880129@163.com

2014-06-23

2014-08-20

1002-8331（2014）23-0026-05

CNKI网络优先出版：2014-08-19,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0328.html