套代数上零点广义Lie可导映射

费秀海，王中华

陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安 710062

套代数上零点广义Lie可导映射

费秀海，王中华

陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安 710062

1 预备知识

设A是一个算子代数，L(A)表示A上的所有线性映射，f，d∈L(A)。如果对于任意的 A，B∈A，d(AB)= d(A)B+Ad(B)，则称d是导子。如果存在 A0∈A，使得则称d是内导子。如果对于任意的 A，B∈A，有 d([A，B])=[d(A)，B]+[A，d(B)]，则称d是Lie-导子（其中，[A，B]=AB-BA，称之为Lie-积）。显然，d是内导子，则d是导子，d是导子，则d是Lie-导子，反之亦然。关于导子、内导子、Lie-导子的定义和相关结论可以在文献[1-2]及所引用的文献中找到。对于任意的 A，B∈A，如果存在A上一个导子d使得f(AB)=f(A)B+Bd(A)，则称 f为广义导子，d称为与 f相关的导子。对于任意的 A，B∈A，如果存在S0，T0∈A，使得 f(A)=S0A-AT0，则称 f为广义内导子。对于任意的 A，B∈A，如果存在A上一个Lie-导子d，使得f([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)，则称 f 为广义Lie-导子。显然，f是广义内导子，则 f是广义导子，f是广义导子，则 f是广义Lie-导子，反之亦然。关于广义导子、广义内导子、广义Lie-导子的定义和相关结论可以在文献[3-5]及所引用的文献中找到。∀A，B∈A且 AB=0 有 f([A，B])=[f(A)，B]+[A，f(B)]，则称 f 是 A上零点Lie-可导映射。如果A上任意的零点Lie-可导映射都是Lie-导子，则说零点是一个Lie-全可导点。设f是代数A上的广义Lie-导子，d为与 f相关的Lie-导子，若∀A，B∈A且 AB=0有 f([A，B])=f(A)B-f(B)A+ Ad(B)-Bd(A)，则称 f是A上广义零点Lie-可导映射。如果A上每个广义零点Lie-可导映射都是广义Lie-导子，则说零点是一个广义Lie-全可导点。关于零点Lie-可导映射、Lie-全可导点的定义和相关结论可以在文献[6-10]及所引用的文献中找到。

近年来，在环和各种代数上对广义导子、广义Lie-导子的刻画引起了许多学者的兴趣，并已取得许多重要的成果，在文献[11]中证明了在环上的每广义导子都可以写成一个广义内导子与到中心且消除交换子的可加映射的和。在文献[12]中证明了在素环上的每个广义Lie-导子都可以写成一个广义导子与到中心且消除交换子的可加映射的和。文献[13]证明了三角代数上的广义Lie-导子在满足一定条件下可以写成一个广义导子与到中心且消除交换子的可加映射的和。关于广义Lie-导子更多的结论可以在文献[13]所引用的文献中找到。本文中用到套代数A lgN相关的概念和符号如下：

设H是数域F上的一个Hilbert空间，B(H)表示H上全体有界线性算子。用I和0分别表示B(H)中的单位算子和零算子。用x⊗f表示H上的一秩算子（其中x∈H，f∈H*，H*是H 的对偶空间）且定义为(x⊗f)(y)= f(y)x，∀y∈H。用 F(H)表示 B(H)中全体有限秩算子。N表示H中一个包含H和{} 0的全序的闭子空间链且在集合的交和闭线性张运算下封闭，把N称为套，当时称N为平凡套。套N相应的套代数记为A lgN，定义为：

且A lgN在强算子拓扑下是闭的。显然，当套N为平凡套时A lgN=B(H)。在本文中假定N为非平凡套。

设P1是A lgN中的一个非平凡投影且分别令：

2 定理及证明

定理2.1设 f是套代数A lgN上一个连续的零点广义Lie-可导映射，d是与 f相关的连续Lie-导子，则f是套代数A lgN上的一个广义Lie-导子。用以下几个引理证明定理2.1。

引理1对于任意的幂等算子P∈A lgN，有：

证明对于任意的幂等算子P∈A lgN，则P(I-P)=0，所以由零点广义Lie-可导映射的定义，有：

由上式，有：

引理2对于任意有限秩算子T∈F(H)∩A lgN，有：

证明由参考文献[14]知道套代数A lgN中的每个一秩算子x⊗f可以表示成至多4个套代数A lgN中幂等算子的线性和，不妨假设每个一秩算子xi⊗fi就等于4个幂等算子 Pij，j=1，2，3，4 的线性和，即

而对于套代数A lgN中的每个有限秩算子T∈F(H)∩A lgN，则可以把其表示成套代数A lgN中一秩算子的有限线性和，不妨设：

由上述两个式子，有：

从而由引理1，有：

即引理2证毕。

引理3对于任意的算子A∈A lgN，有：

证明由参考文献[15]知道套代数A lgN中的有限秩算子在强算子拓扑（用SOT表示强算子拓扑）下是稠密的，即

从而引理3得证。

引理4设d是零点广义Lie-可导映射 f相关的连续Lie-导子，则有：

同时在上式两边左乘P1和右乘P2，得：

不妨设d(P1)=k1I+M12（其中k1是数域 F里面的数，M12是A12里面的算子）。

同理，因为-T12=P2T12-T12P2，所以有：

从而

不妨设d(P2)=k2I+N12（其中k2是数域 F里面的数，N12是A12里面的算子）。

即引理4得证。

定理的2.1证明：由定理的假设及引理，∀A，B∈A lgN，有：

3 主要结论

本文主要对套代数A lgN上零点广义Lie-可导映射 f作了研究，在广义Lie-可导映射 f和相关Lie-导子d具有连续性质的假设下，证明了∀A，B∈A lgN且AB=0，有：

即证明了 f是套代数A lgN上的广义Lie-导子。

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[4]Nakajima A.Categorical properties of generalized derivations[J].Scientiae Mathematicae，1999，2：345-352.

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[6]陈琳，张建华.套代数上的零点Lie可导映射[J].数学学报，2009（1）：107-112.

[7]Zhu Jun.Generalized derivable mappings at zero point on some reflexive operator algebras[J].Linear Algebra and Its Applications，2005，397：367-379.

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[15]Erdos J A.Operators of finite rank in nest algebras[J]. J London Math Soc，1968，43：391-397.

FEI Xiuhai,WANG Zhonghua

College of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

LetNbe a non-trivial nest on Hilbert spaceH，fbe a continuous generalized Lie derivable mapping at zero point on nest algebraA lgNanddbe a continuous Lie derivation on nest algebraA lgN.In this paper,It is shown that if fsatisfiesf([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)for allA，B∈A lgNwithAB=0，thenf([A，B])=f(A)B-f(B)A+ Ad(B)-Bd(A)for allA，B∈A lgN.

Lie-derivation;generalized Lie-derivation;Lie-all-derivable point;nest algebraA lgN

设N是Hilbert空间H上的一个非平凡套，f是套代数A lgN上的一个连续广义零点Lie-可导映射，d是套代数 A lgN上的一个连续Lie-导子。证明了，如果∀A，B∈A lgN且 AB=0有 f([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)，则 f([A，B])=f(A)B-f(B)A+Ad(B)-Bd(A)，∀A，B∈ A lgN 。

Lie-导子；广义Lie-导子；Lie-全可导点；套代数 A lgN

A

O177.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0414

FEI Xiuhai,WANG Zhonghua.Generalized Lie derivable mappings at zero point on nest algebras.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：4-6.

陕西省自然科学基础研究计划资助项目（No.2014JQ1015）。

费秀海（1980—），男，在读博士，讲师，研究领域为算子代数与算子理论；王中华（1984—），男，在读博士，研究领域为算子代数与算子理论。E-mail：XiuHaiFei@snnu.edu.cn

2014-04-28

2014-06-10

1002-8331（2014）23-0004-03

CNKI网络优先出版：2014-06-26,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0414.html