王 丽
(上海电机学院 数理教学部,上海201306)
一维等温欧拉方程组可以写为如下形式:
式中,ρ为流体的密度;u为流体的速度;p为流体的压强;e为流体的内能;t为时间;x为变量。
式(1)中,压强和音速c分别满足p=ρ和c=1,且内能满足如下关系:
式中,S为流体的熵;R为常数[1]。
在流体动力学的研究中,一般假定流体是定常、等熵或无旋的。然而,对流体做等温的假设在工业上应用广泛,如通过安装制冷设备使得管道流等温,以减少压缩的成本[2]。等温欧拉方程组的重要性不仅体现在生产实践中,它在理论上的应用也颇为广泛[3-6]。
在非线性双曲守恒律的研究领域,黎曼问题是非常基本的问题之一。不同学者借助不同的模型(如欧拉方程组、压力-梯度方程、零压气体等)研究了黎曼问题。一般来讲,黎曼问题的解包含中心波、激波和接触间断。本文将构造另一种形式的黎曼解,即式(1)黎曼问题的Delta激波解。关于Delta激波解,可以参见文献[7-13] 中的结果以及其中的参考文献。
式(1)的矩阵形式为
式(3)中的3个特征值为
故式(1)是严格双曲的。式(3)相应的右特征向量为
由式(4)、(5)知,
考虑式(1)带有如下初值的黎曼问题:
式中,l、r表示初值的左、右状态。
黎曼问题式(1)、(6)的解包含中心波、激波和接触间断,此处不做赘述。
考虑如下形式的Delta激波解:
式中,δ(x-x(t))为带有支集x=x(t)的标准狄利克雷测度;ω(t)为Delta激波x=x(t)的权重。若式(7)、(8)是式(1)的一个测度解,则需满足如下形式的Rankine-Hugoniot条件:
式中,p=ρ。
式(9)的初值条件为
若(ρi,ui,ei)(i=1,r)是常状态,通过求解式(9)、(10),若ρr≠ρl时可得:
若ρr=ρl,可得:
除满足式(11)、(12),Delta激波解还需满足如下的熵条件:
图1所示为Delta激波解示意图。
图1 Delta激波解Fig.1 Delta shock wave solution
等温欧拉方程组在工业实际中应用广泛,黎曼问题是流体动力学中非常重要的基本问题。本文重点研究了Delta激波解的结构,这也是目前研究的热门领域。因此,本文在研究对象和研究的问题上都颇具意义。
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