带电粒子在非均匀磁场中运动的教学设计

史祥蓉 张景卓

（海军工程大学应用物理系，湖北 武汉 430033）

大学物理教学不仅要让学生学习知识，更重要的是让学生在学习知识的过程中体会物理学研究、处理问题的方法，以培养他们解决问题的能力.作为老师怎样设计教学才能达到这样的目的呢？

带电粒子在非均匀磁场中运动的情况比较复杂，需具体问题具体分析，所以一般的大学物理课程都不会详细讲解这部分内容［1，2］.而这一部分内容中的带电粒子在轴对称非均匀磁场中运动所引起的磁约束现象在实际中的应用非常广泛［3］，是能引起学生关注并提高其学习积极性的内容.怎样才能在学生现有的知识基础上将其讲解清楚呢？经过认真分析研究，笔者做了如下的教学设计.

1 带电粒子在均匀磁场中的运动是基础

带电粒子在均匀磁场中运动的情况比较简单，可以引导学生从熟悉的力学出发进行分析研究.将带电粒子作为研究对象，假设其以初速υ进入均匀磁场中，将怎样运动呢？研究对象及其初始条件已经清楚，此时只要再找到所研究的带电粒子的受力情况，问题即可解决.带电粒子在磁场中的受力即洛伦兹力为F＝qυ×B.

1）当υ平行于B时，F＝0，粒子的运动状态不改变，以初速υ做匀速直线运动.

2）当υ垂直于B时，F＝qvB并且F⊥υ，粒子做匀速率圆周运动，半径：R＝mv／qB，周期：T＝2πm／qB.

3）当υ与B成任意夹角θ时，根据运动的合成与分解，可将其分解为两个运动：初速分别与B平行、垂直，最终粒子的运动将是这两个运动的合成，即螺旋线运动，回旋半径：R＝mv⊥／qB，周期：T＝2πm／qB，螺距：h＝v‖T＝v‖2πm／qB.

2 分析轴对称非均匀磁场的特点是重点、难点

图1示意为同轴同方向的两个电流圆环所产生的轴对称非均匀磁场，当带电粒子以初速υ进入该磁场中时，将如何运动呢？此时虽然研究对象即带电粒子及其初始条件是清楚的，但若要再找到研究对象的受力，必须写出该非均匀磁场B的表达式，这对于本科生尤其是非物理专业的本科生来说是不容易解决的问题.怎么办呢？

图1 轴对称非均匀磁场示意图

分析该磁场的特点：轴向和横向都不均匀.可以引导学生思考：如图2，用一组与磁力线垂直

图2 轴对称非均匀磁场的分析

的曲面（图中虚线为曲面与纸面的交线）、结合磁力线，将空间分为若干小区域，那么对于图中每一个小区域（如阴影区域）是否可近似为均匀场？答案“是！”，这样问题就好解决了.可以将带电粒子在均匀磁场中运动的情况引入，学生很容易理解此时应为螺旋线运动.

这里所体现的教学思想是：从学生已掌握的知识及解决问题的方法入手，引导其掌握新知识.此时关键是引导学生分析新问题（轴对称非均匀磁场）与旧问题（均匀磁场）之间的衔接点（一小段轴对称非均匀磁场可近似为均匀磁场），引导学生怎样在已有知识（带电粒子在均匀磁场的运动）的基础上掌握新知识（带电粒子在轴对称非均匀磁场中的运动）.

这里所用到的处理问题的方法是“近似”.其实近似这种方法在大学物理学研究问题时经常用到，比如求解变力做功或非均匀场中的磁通量、电通量时都会用到取微元然后再积分的方法，在这其中就是将微元范围内的变力近似为恒力或微元范围内的场近似为均匀场.如果在此能为学生点到，引起学生的注意，那么可以更有效地帮助学生对问题的理解及方法的掌握.

3 磁约束概念的讲解是结果

从以上的分析中学生已经清楚：带电粒子在轴对称非均匀磁场中的运动为螺旋线，那么螺旋线的回旋半径、周期及螺距又是多少呢？由于磁场在横向上大小近似均匀，但在轴向上大小有变化，所以由回旋半径、周期及螺距与B的关系（在第1节中有公式），可以清楚看到运动应为：回旋半径、周期及螺距都随B沿轴线不断变化的非均匀螺旋线运动，如图3（a）所示.这样，粒子的运动在“横向上”被“限制”在了一定的范围之内，称为横向约束.若增加电流使磁场加强的话，回旋半径会减小，磁场对粒子运动的横向约束就加强，加强到一定程度时会将粒子限制在一根磁感应线附近运动，如图3（b）所示.

图3 磁场沿轴向不断变化

当粒子运动到电流环附近时，是否会沿轴向逃逸出磁场呢？如图4所示由洛伦磁力F＝qυ×B的方向可知：粒子所受洛仑兹力总有一个指向磁场较弱方向的轴向分量，若力与速度轴向分量关系适当，就有可能使粒子的轴向分速度减为零，这样带电粒子在这个分力作用下，只能沿轴向在两电流环之间的一定区域内来回螺旋振荡，其运动在“轴向上”被“限制”在了一定的范围之内，称为轴向约束.

图4 洛伦兹力的方向

由此可以看出：当带电粒子进入轴对称非均匀磁场后，在该磁场的作用下，带电粒子只能在两电流环之间的一定区域内做来回振荡的回旋运动，运动范围被限制在了一定的区域范围内，这种现象称为磁约束.

这一部分内容是在前两部分即带电粒子在均匀磁场中的运动以及对轴对称非均匀磁场特点理解的基础上讲解，在此有两个关键点：（1）引导学生理解：虽然每一小部分可以近似为均匀磁场，但不同曲面间即轴向上所具有的磁感强度B是不一样的，所以沿轴向回旋半径会随B的大小不断变化；（2）引导学生分析当粒子运动到电流环附近时，是否会沿轴向逃逸出磁场.

所用教学方法是问题式的引导，不是直接告诉学生结果，而是设计问题引导学生思考，让学生自己得出结果，自己建构知识体系.

4 结语

该教学设计最大的特点是：将物理学中经常用到的处理问题的方法“近似”巧妙地应用到“带电粒子在轴对称非均匀磁场中运动”的分析之中，使复杂问题简单化.不仅将该部分内容演绎得清晰明了，使学生易于理解；更重要的是让学生在学习知识的过程中体会到了物理学研究、处理问题的方法，有利于学生解决问题能力的培养，而这应该是教学的最终目的.

［1］ 康颖.大学物理［M］.2版.北京：科学出版社，2010：42－43.

［2］ 程守洙，江之永.普通物理学2［M］.北京：高等教育出版社，1982年修订本：173－174.

［3］ 赵凯华，陈熙谋.电磁学［M］.北京：高等教育出版社，2003：135－136.