光在非均匀介质中传播规律的演示

魏振博 王占山

（同济大学精密光学工程技术研究所，同济大学物理科学与工程学院，上海 200092）

光在介质中的传播规律遵循费马原理，如：在均匀介质中，光沿直线传播，这是人们普遍接受的观点.在非均匀介质中，光的传播轨迹比较复杂，与非均匀介质的状态有密切关系.在光学教学过程中，主要是讲授光在均匀介质中的传播.只在很少的国内外教科书中，有关于光在非均匀介质中传播的介绍，主要是海市蜃楼和沙漠幻影［1－3］.

在夏季，白天海水温度较低，特别是有冷水流经过的海面，水温更低，靠近海面的空气受海水温度的影响，温度较低.随着海面向上距离的增加，空气的温度受海水温度的影响减小，因此，将出现下冷上暖的反常现象（正常情况是下暖上凉，平均每升高100m，气温降低0.6℃ 左右）.靠近海面的空气因气压高，密度大，再加上温度低，密度变大.在这种情况下，随着距离海面高度的增加，空气的密度逐渐减小，导致空气的折射率逐渐减小.在这种折射率逐渐变小的空气中，光线在传播的过程中发生弯折，形成海市蜃楼现象.在夏天的沙漠里，沙子的比热容比较小，很快就能被太阳晒得很热，接近沙层空气的温度也就升高很快.空气传热差，在无风时，空气上下层间的热量交换极小.因此，随着离开沙子表面距离的增加，空气的温度逐渐减小，导致靠近沙层表面的空气密度比上层空气密度小，也就是靠近沙层表面空气的折射率小于上层空气的折射率.由于沙漠中空气折射率的变化，产生了沙漠幻影现象.同理，这种情况也可出现在夏天的马路上.

光在均匀介质中沿直线传播的规律是非常容易看到的，也是在实验上容易演示的.光在非均匀介质中传播的海市蜃楼和沙漠幻影现象不是经常能够看到的，实验上的演示也不是十分容易.要在实验上演示光在非均匀介质中的传播规律，首先需要产生一个折射率不断变化的区域，且在这个区域内光要有一定的散射，这样才能明显地观察到光的传播规律.本文选择糖浆往清水中扩散部分作为折射率渐变区域，采用激光笔发出的532nm激光作为光源，通过激光在糖浆与清水扩散区域的传播，演示了光在非均匀介质中的传播规律，证实了光在非均匀介质中传播不是直线.进一步根据演示现象推导了溶液中折射率的相对变化.

1 实验现象

实验器材包括：照相机、有机玻璃容器（140mm×50mm×210mm）、白糖、带有胶皮管的漏斗、烧杯、量筒、532nm的激光笔、支架.

将清水倒入有机玻璃容器中，水面距底部40mm左右，然后用带有胶皮管的漏斗将糖浆注入清水的底部，使糖浆扩散形成浓度渐变区域.用支架将波长532nm的激光笔固定好，使激光笔发出的激光以一定角度射入糖浆与清水间形成的浓度渐变区域.用照相机从正面拍摄光线的传播路径.

糖浆的浓度和实验室的温度决定糖浆向清水中扩散的速度，也就是决定了扩散区域内溶液折射率的变化情况.为了得到最佳的观察效果，需要优化糖浆的浓度和实验室的温度.在实验中，我们发现温度对糖浆扩散的影响不大，浓度对糖浆向清水中的扩散影响甚大，如在糖浆浓度过大时甚至看不到光线的弯折.通过大量的实验，光线偏折比较明显的糖浆中的水和糖的质量比为2∶3.图1示出了光线在非均匀溶液中的传播状态.

图1 实验得到的光在非均匀介质中的传播现象

糖浆和清水间的扩散应与时间有关，这将导致光在上述非均匀介质中的传播现象也随时间变化.为了观察这种变化，我们在距离容器2m远处放一个观察屏（一张白纸即可），经过非均匀传播的光在观察屏上形成一个光点.只要观察该光点的位置随时间的变化，就可以了解光在非均匀溶液中传播状态随时间的变化情况.通过实验发现在30分钟内，所观察的光点位置的变化不明显，表明非均匀区域内折射率随时间变化不明显.在距离容器2m远处观察，是因为距离越远观察的现象越显著.

为了进一步演示光在非均匀介质中的传播，我们在装有糖浆与清水的容器的一侧放上一个限制光阑，在另一侧放上一个写有数字的卡片.当没有放入带有非均匀介质的容器时，通过光阑，能看到的数字是12（见图2（a））.当保持演示装置的位置不变，只是在观察光阑与数字卡片间加入我们制作的折射率变化的液体，这时通过光阑看到的数字不是12，而是12下面的数字13（见图2（b））.这一实验证实了光在非均匀介质中传播时发生了弯曲.

2 光在非均匀介质中传播规律的分析

光在非均匀介质中传播的实验现象观察是定性的，为了能够获得光传播规律的定量信息，首先需要获得光传播路径函数，然后根据路径函数确定非均匀介质中折射率的相对变化.

2.1 光线传播路径的函数表达式

为了确定光线传播路径，我们在演示装置上增加了两个钢板尺，通过钢板尺，可以确定出光线传播路径实验曲线，如图3所示.采用二次函数拟合了实测曲线，得到的拟合曲线方程为

式中，y是光线径迹在高度方向的值，x是沿着光传播方向上光线的位置值.由此式可知，光在糖浆与清水扩散区域内的传播轨迹是抛物线.

图3 光线在非均匀介质中的传播径迹

2.2 非均匀介质折射率的确定［4］

为了确定非均匀介质折射率分布，假定其折射率在y方向上是渐变的，在x方向上是不变的.将非均匀介质在y方向上分割成许多薄片，每片的折射率是ni，由折射定律有

对于非均匀介质内的任意位置，应有

光线径迹上（x，y）处的一段曲线元，其弧长ds的大小可表示为

由折射定律有

将式（5）代入式（4）得到

将光线径迹方程（1）代入上式，得到

按式（9）作图，如图4所示，其是非均匀介质折射率相对变化，只要知道n0sinθ0就可以知道所研究的介质的折射率随位置的变化.由图4可知，所研究的非均匀介质的折射率变化只有1%左右.

图4 非均匀介质折射率随位置的变化

3 结语

本文采用糖浆与清水交界区域实现了光在非均匀介质中的传播规律的演示，结果表明：温度对传播规律的影响不大，但糖浆中水和糖的质量比是观察到明显光学偏折现象的重要因素.实验获得了光线在非均匀介质中光线径迹，拟合得出光线在我们制备的非均匀介质传播径迹是抛物线.由径迹曲线，得出了非均匀介质折射率的变化规律.

本文介绍的演示实验装置简单，现象直观，内容丰富，大大激发了学生学习光学的兴趣，拓展了学生对光学学习的思路，加深了学生对统领光线传播规律的费马原理的认识.

［1］ 钟锡华.现代光学基础［M］.北京：北京大学出版社，2003：17－20.

［2］ 费恩曼，莱顿，桑兹.费恩曼物理学讲义 第一卷［M］.郑永令，华宏鸣，吴子仪，等，译.上海：上海科学技术出版社，2005：263－264.

［3］ Ajoy Ghatak，Optics［M］.4thed，北京：清华大学出版社，2010.

［4］ 赵建林.高等光学［M］.北京：国防工业出版社，2012：70－72.