让学生在“思考”的课堂中体会学习的快乐

吕云彬

在初三毕业班复习研讨会上，笔者听取了台州市经济开发区组织的一次数学观摩课，这节由杭州市西湖区三墩中学潘老师执教的“二次函数中的面积问题—做数学的思想者”的课，让学生从已有的二次函数基本知识出发，去探究并提出问题，最后解决问题。

一、教学实录

（一）课堂引入

首先，教师和学生一起回顾二次函数定义及其图象的顶点坐标、对称轴等，然后给出下列问题：

如图1，已知二次函数y=x2-2x-3，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点为D。

（1）直接写出A，B，C，D各点坐标及BC的直线解析式；

（2）根据图象回答下列问题：

①开口方向为__________；

②对称轴______________；

③当x=_______时，

最大（小）值_______；

④|AB|=______

⑤当x_________，y随x的增大而增大，

当x_______，y随x的增大而减小。

复习课的课堂引入是教师通过创设情境，帮助学生回顾已有的知识结构。潘老师通过一个简单的二次函数图象，将学生短期内遗忘掉的零散知识点重新编码，通过（1）（2）两小题建立二次函数知识之间、知识与学生个体经验之间的联系，帮助学生回顾知识和整理知识，并组织学生交流探讨第（2）题的第④小题，当A、B两点的坐标任意确定时，都可以求出线段AB的长度，让学生自己试着举出例子，引导学生相互交流，帮助学生优化知识结构。

（二）创设问题

在解答完以上两个小题之后，给出第三个小题。

（3）根据图象思考由这些点O、A、B、C、D能构成了哪些三角形，并求出这些三角形的面积。

生1：S△OAC=[12]×1×3=[32] S△OBD=[12]×3×4=6

S△OBC=[12]×3×3=[92] S△OCD=[12]×1×3=[32]

S△ABC=[12]×4×3=6 S△AOD=[12]×1×4=2

S△ABD=[12]×4×4=8

师：还有其他三角形的面积能求吗？

生2：还有△ACD和△BCD。

师：能否求出这两个三角形的面积？相对于上述三角形，这两个三角形的面积最难求吗？为什么最困难？

生3：因为△ACD和△BCD的边没有在坐标轴上，其他三角形中都有某一边或两边在坐标轴上，这样便于寻找三角形的底和高，能比较直观求出它们的面积，这两个三角形的三边都没有在坐标轴上，寻找数量关系就显得比较困难。

师：那我们有什么办法来求出它们的面积呢？由原图会想到哪些问题？

教师的点拨激起了学生思维的火花，带领学生的思维进入高潮，使数学问题逐步深入，探究变得非常巧妙自然。

（三）探究问题

师：如图2，下面我们以△BCD为例，来求它的面积，请同学们思考求解的好方法？

生1：可先求出四边形ACDB的面积，利用上面的几个基本三角形的和差，从而得到。

S△BCD=S四边形ACBD-S△ABC

=S△AOC+S△OCD+S△OBD-S△ABC

=[32]+[32]+6-6

=3

生2：可先求出四边形OCDB

的面积，利用△OCD和△OBD的

面积和减去△OBC的面积即可。

生3：过D点作DH⊥OC于H点，先求出梯形OHDB的面积，再减去△OBC和△CHD的面积即可。

本小题涉及到计算三角形面积的常用方法——割补法，学生采用“一题多解”，灵活运用，积极思考，课堂气氛非常活跃，教师引导学生通过选择适当的方法解决问题，体验解决问题的思考过程，体验数学的思想方法，尽可能多地让学生自己讲解，加深记忆，一题多解，做到“授人以鱼不如授人以渔”。

二、几个亮点思考

（一）注重数学的解题方法：“一题多解”和“一图多用”

笔者在金华市培训期间听一位专家在“对基于教育本质的数学课堂的几点思考”的讲座中提到一个案例：等腰三角形的判定。某位教师在复习等腰三角形性质定理“等腰三角形的两个底角相等”后给出其判定定理“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，在该教学片断中，采用一图多用，给笔者留下了深刻印象。题目如下：

师：如图3，在△ABC中，若∠B=∠C，则有什么结论？

图3 图4

生1：由等腰三角形的判定定理得出图中△ABC为等腰三角形.

师：如图4，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，若BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，能得出什么结论？

生2：可找到两个等腰三角形，分别是△ABC和△OBC。

师：如图5，过O作直线EF∥BC。则图中有几个等腰三角形？为什么？线段EF与线段BE、FC之间有何关系？

图5 图6

生3：图中可找到4个等腰三角形，分别是△ABC、△OBC、△EBO、△FOC，线段EF=BE+FC。

接着有学生指出学生3答题不仔细，纷纷举手，发现图3中有5个等腰三角形，不仅线段满足EF=BE+FC，而且EF=2BE，或EF=2FC。学生观察问题非常仔细，对问题的思考更加深入。

接着教师让学生自己编题，设计问题后自己解决，其中一个学生想到：

生4：如图6，若∠B与∠C不相等。则图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有上述关系？

生5：图中还有两个等腰三角形，此时我们必须综合应用角平分线定义和平行线性质以及等腰三角形的判定定理得出△EBO和△FOC是等腰三角形，最后得出线段之间的关系式还是成立的。

师：讲得非常好。针对此题，你还能想到什么问题？

生6：当BO和CO中其中有一条是△ABC的一个内角和一个外角平分线时，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于点O，此时图中有几个等腰三角形？线段EF、EB、FC又满足什么关系式？

师：针对这个图形你还会设计什么问题呢？

生7：在图3和图4中，当EF不平行BC时，直线EF绕着点O旋转时，会不会出现等腰三角形？若有，最多有几个？

这个问题引起了全班同学的思考，大家相互讨论，积极动手操作。此时，教师利用几何画板，很好的演示了这个过程，点E和点F的位置有可能在线段AB、AC上，或者在其延长线上，同时要对∠EBO进行分类讨论：当∠EBO为等腰三角形的顶角或底角时又会怎样，同时学生也发现等腰三角形个数的多少还取决于△ABC的形状。

同学们看着教师的演示，纷纷讨论，画图探究，动手操作，思考问题的积极性非常高，气氛热烈，教师和学生一起完成了学生设计的难题。这个教学片断非常巧妙地运用了数学几何图形的“一图多用”，让学生层层思考，通过变式、出题、由浅入深，学生整个思维清晰有序，课堂参与率非常高。

（二）注重数学课堂提问的艺术

数学课堂提问的方式很多，有开门见山的提问、有创设情景的提问、有穷追不舍的提问等。教师在提问时应注意问题要有需要性、激发性、创造性、发展性、全面性、适度性。好的提问方式可以激发学生的学习兴趣，迅速集中学生的注意力，是开启学生智慧之门的钥匙。笔者在听一位年轻教师执教八年级上册第十一章数学活动课“平面镶嵌”这一课时，摘录了这位教师的课堂提问。年轻教师的课堂提问设计能做到精心揣摩，笔者认为是非常好的。

师：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形这四种图形中，选取一种进行平面镶嵌，哪种不能？

通过多媒体演示，师生共同得出正五边形不能单独进行平面镶嵌。

师：为什么正五边形不能单一进行平面镶嵌？能进行平面镶嵌的图形必须满足什么条件？

因着教师的提问，学生进一步思考，对于多边形进行平面镶嵌有了更深刻的理解和认识，而并不单单在于记住正五边形不能进行平面镶嵌，同时也探讨多边形的内角与360°的关系，提出能被360°整除的就可以进行平面镶嵌。

结论：一种正多边形进行镶嵌，只有正三角形、正四边形、正六边形三种可以。

师：若选取两种或三种边长相等的正多边形，哪些可以进行平面镶嵌？

在讨论探究中学生1得出一个结论：凡是有正五边形参与的就不能进行平面镶嵌。

师：大家同意这位同学（生1）的想法吗？

生2：用两个正五边形和一个正十边形就可以进行平面镶嵌，因为正十边形的内角为144°，而正五边形的内角为108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。

全班学生都纷纷举手表示赞同，但有的学生当时也就疑惑了，这样凑不是很麻烦？紧接着教师就提出问题。

师：能否用常规的方法来解决此类问题？

师生一起思考，共同解决。以正三角形和正六边形进行平面镶嵌为例，设有m个正三角形和n个正六边形进行平面镶嵌，则有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，当n=1时，m=4；当n=2时，m=2，这样就有两种情况，用这种办法去解决一般的多种多边形平面镶嵌问题。

师：除了用正多边形进行平面镶嵌外，还有没有其他任意多边形，如：三角形、四边形之类能否进行单一镶嵌呢？

教师通过多媒体演示，利用做好的四个全等的任意三角形和四边形模型让学生到黑板上进行动手拼图，得出能进行平面镶嵌。

结论：形状、大小完全相同的任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌。

师：除了三角形、四边形、还有其他一般的多边形能单一进行平面镶嵌吗？

学生深入思考探究，最后得出除了三角形和四边形，没有其他任意的多边形能进行平面镶嵌。

其实问题的提出并不在于多少，而在于是否具有启发性，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考，不能让问题处于形式主义。要使提问有效，首先要做到问题的指向明确，提问时针对性要强，充分钻研教材，悉心考察学情，做到精心设计问题，倾听学生回答，及时给予肯定和鼓励。课堂提问贯穿于我们教学的始终，虽然它是一个古老的话题，却是我们一线教师永恒的话题，我们要把握提问时机，选择恰当的提问语气，激活学生的思维内力，培养学生探索精神，引导学生积极主动学习，这样的课堂才是有效和精彩的课堂。

[参 考 文 献]

[1]吴岩.初中几何教学中的一图多用[J].中学数学教学参考，2013（1-2）.

[2]钱英.与二次函数图象有关的面积问题[J].中学数学教学参考，2011（5）.

（责任编辑：张华伟）

生4：如图6，若∠B与∠C不相等。则图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有上述关系？

生5：图中还有两个等腰三角形，此时我们必须综合应用角平分线定义和平行线性质以及等腰三角形的判定定理得出△EBO和△FOC是等腰三角形，最后得出线段之间的关系式还是成立的。

师：讲得非常好。针对此题，你还能想到什么问题？

生6：当BO和CO中其中有一条是△ABC的一个内角和一个外角平分线时，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于点O，此时图中有几个等腰三角形？线段EF、EB、FC又满足什么关系式？

师：针对这个图形你还会设计什么问题呢？

生7：在图3和图4中，当EF不平行BC时，直线EF绕着点O旋转时，会不会出现等腰三角形？若有，最多有几个？

这个问题引起了全班同学的思考，大家相互讨论，积极动手操作。此时，教师利用几何画板，很好的演示了这个过程，点E和点F的位置有可能在线段AB、AC上，或者在其延长线上，同时要对∠EBO进行分类讨论：当∠EBO为等腰三角形的顶角或底角时又会怎样，同时学生也发现等腰三角形个数的多少还取决于△ABC的形状。

同学们看着教师的演示，纷纷讨论，画图探究，动手操作，思考问题的积极性非常高，气氛热烈，教师和学生一起完成了学生设计的难题。这个教学片断非常巧妙地运用了数学几何图形的“一图多用”，让学生层层思考，通过变式、出题、由浅入深，学生整个思维清晰有序，课堂参与率非常高。

（二）注重数学课堂提问的艺术

数学课堂提问的方式很多，有开门见山的提问、有创设情景的提问、有穷追不舍的提问等。教师在提问时应注意问题要有需要性、激发性、创造性、发展性、全面性、适度性。好的提问方式可以激发学生的学习兴趣，迅速集中学生的注意力，是开启学生智慧之门的钥匙。笔者在听一位年轻教师执教八年级上册第十一章数学活动课“平面镶嵌”这一课时，摘录了这位教师的课堂提问。年轻教师的课堂提问设计能做到精心揣摩，笔者认为是非常好的。

师：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形这四种图形中，选取一种进行平面镶嵌，哪种不能？

通过多媒体演示，师生共同得出正五边形不能单独进行平面镶嵌。

师：为什么正五边形不能单一进行平面镶嵌？能进行平面镶嵌的图形必须满足什么条件？

因着教师的提问，学生进一步思考，对于多边形进行平面镶嵌有了更深刻的理解和认识，而并不单单在于记住正五边形不能进行平面镶嵌，同时也探讨多边形的内角与360°的关系，提出能被360°整除的就可以进行平面镶嵌。

结论：一种正多边形进行镶嵌，只有正三角形、正四边形、正六边形三种可以。

师：若选取两种或三种边长相等的正多边形，哪些可以进行平面镶嵌？

在讨论探究中学生1得出一个结论：凡是有正五边形参与的就不能进行平面镶嵌。

师：大家同意这位同学（生1）的想法吗？

生2：用两个正五边形和一个正十边形就可以进行平面镶嵌，因为正十边形的内角为144°，而正五边形的内角为108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。

全班学生都纷纷举手表示赞同，但有的学生当时也就疑惑了，这样凑不是很麻烦？紧接着教师就提出问题。

师：能否用常规的方法来解决此类问题？

师生一起思考，共同解决。以正三角形和正六边形进行平面镶嵌为例，设有m个正三角形和n个正六边形进行平面镶嵌，则有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，当n=1时，m=4；当n=2时，m=2，这样就有两种情况，用这种办法去解决一般的多种多边形平面镶嵌问题。

师：除了用正多边形进行平面镶嵌外，还有没有其他任意多边形，如：三角形、四边形之类能否进行单一镶嵌呢？

教师通过多媒体演示，利用做好的四个全等的任意三角形和四边形模型让学生到黑板上进行动手拼图，得出能进行平面镶嵌。

结论：形状、大小完全相同的任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌。

师：除了三角形、四边形、还有其他一般的多边形能单一进行平面镶嵌吗？

学生深入思考探究，最后得出除了三角形和四边形，没有其他任意的多边形能进行平面镶嵌。

其实问题的提出并不在于多少，而在于是否具有启发性，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考，不能让问题处于形式主义。要使提问有效，首先要做到问题的指向明确，提问时针对性要强，充分钻研教材，悉心考察学情，做到精心设计问题，倾听学生回答，及时给予肯定和鼓励。课堂提问贯穿于我们教学的始终，虽然它是一个古老的话题，却是我们一线教师永恒的话题，我们要把握提问时机，选择恰当的提问语气，激活学生的思维内力，培养学生探索精神，引导学生积极主动学习，这样的课堂才是有效和精彩的课堂。

[参 考 文 献]

[1]吴岩.初中几何教学中的一图多用[J].中学数学教学参考，2013（1-2）.

[2]钱英.与二次函数图象有关的面积问题[J].中学数学教学参考，2011（5）.

（责任编辑：张华伟）

生4：如图6，若∠B与∠C不相等。则图中有没有等腰三角形？为什么？②线段EF与线段BE、FC之间还有没有上述关系？

生5：图中还有两个等腰三角形，此时我们必须综合应用角平分线定义和平行线性质以及等腰三角形的判定定理得出△EBO和△FOC是等腰三角形，最后得出线段之间的关系式还是成立的。

师：讲得非常好。针对此题，你还能想到什么问题？

生6：当BO和CO中其中有一条是△ABC的一个内角和一个外角平分线时，比如BO平分∠ABC，CO平分∠ACB的外角，且相交于点O，此时图中有几个等腰三角形？线段EF、EB、FC又满足什么关系式？

师：针对这个图形你还会设计什么问题呢？

生7：在图3和图4中，当EF不平行BC时，直线EF绕着点O旋转时，会不会出现等腰三角形？若有，最多有几个？

这个问题引起了全班同学的思考，大家相互讨论，积极动手操作。此时，教师利用几何画板，很好的演示了这个过程，点E和点F的位置有可能在线段AB、AC上，或者在其延长线上，同时要对∠EBO进行分类讨论：当∠EBO为等腰三角形的顶角或底角时又会怎样，同时学生也发现等腰三角形个数的多少还取决于△ABC的形状。

同学们看着教师的演示，纷纷讨论，画图探究，动手操作，思考问题的积极性非常高，气氛热烈，教师和学生一起完成了学生设计的难题。这个教学片断非常巧妙地运用了数学几何图形的“一图多用”，让学生层层思考，通过变式、出题、由浅入深，学生整个思维清晰有序，课堂参与率非常高。

（二）注重数学课堂提问的艺术

数学课堂提问的方式很多，有开门见山的提问、有创设情景的提问、有穷追不舍的提问等。教师在提问时应注意问题要有需要性、激发性、创造性、发展性、全面性、适度性。好的提问方式可以激发学生的学习兴趣，迅速集中学生的注意力，是开启学生智慧之门的钥匙。笔者在听一位年轻教师执教八年级上册第十一章数学活动课“平面镶嵌”这一课时，摘录了这位教师的课堂提问。年轻教师的课堂提问设计能做到精心揣摩，笔者认为是非常好的。

师：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形这四种图形中，选取一种进行平面镶嵌，哪种不能？

通过多媒体演示，师生共同得出正五边形不能单独进行平面镶嵌。

师：为什么正五边形不能单一进行平面镶嵌？能进行平面镶嵌的图形必须满足什么条件？

因着教师的提问，学生进一步思考，对于多边形进行平面镶嵌有了更深刻的理解和认识，而并不单单在于记住正五边形不能进行平面镶嵌，同时也探讨多边形的内角与360°的关系，提出能被360°整除的就可以进行平面镶嵌。

结论：一种正多边形进行镶嵌，只有正三角形、正四边形、正六边形三种可以。

师：若选取两种或三种边长相等的正多边形，哪些可以进行平面镶嵌？

在讨论探究中学生1得出一个结论：凡是有正五边形参与的就不能进行平面镶嵌。

师：大家同意这位同学（生1）的想法吗？

生2：用两个正五边形和一个正十边形就可以进行平面镶嵌，因为正十边形的内角为144°，而正五边形的内角为108°，我想到了式子：2×108°+144°=360°。

全班学生都纷纷举手表示赞同，但有的学生当时也就疑惑了，这样凑不是很麻烦？紧接着教师就提出问题。

师：能否用常规的方法来解决此类问题？

师生一起思考，共同解决。以正三角形和正六边形进行平面镶嵌为例，设有m个正三角形和n个正六边形进行平面镶嵌，则有式子：60m+120n=360成立，得出m=6-2n，当n=1时，m=4；当n=2时，m=2，这样就有两种情况，用这种办法去解决一般的多种多边形平面镶嵌问题。

师：除了用正多边形进行平面镶嵌外，还有没有其他任意多边形，如：三角形、四边形之类能否进行单一镶嵌呢？

教师通过多媒体演示，利用做好的四个全等的任意三角形和四边形模型让学生到黑板上进行动手拼图，得出能进行平面镶嵌。

结论：形状、大小完全相同的任意三角形和任意四边形可以进行平面镶嵌。

师：除了三角形、四边形、还有其他一般的多边形能单一进行平面镶嵌吗？

学生深入思考探究，最后得出除了三角形和四边形，没有其他任意的多边形能进行平面镶嵌。

其实问题的提出并不在于多少，而在于是否具有启发性，是否能够触及问题的本质，并引导学生深入思考，不能让问题处于形式主义。要使提问有效，首先要做到问题的指向明确，提问时针对性要强，充分钻研教材，悉心考察学情，做到精心设计问题，倾听学生回答，及时给予肯定和鼓励。课堂提问贯穿于我们教学的始终，虽然它是一个古老的话题，却是我们一线教师永恒的话题，我们要把握提问时机，选择恰当的提问语气，激活学生的思维内力，培养学生探索精神，引导学生积极主动学习，这样的课堂才是有效和精彩的课堂。

[参 考 文 献]

[1]吴岩.初中几何教学中的一图多用[J].中学数学教学参考，2013（1-2）.

[2]钱英.与二次函数图象有关的面积问题[J].中学数学教学参考，2011（5）.

（责任编辑：张华伟）