一次函数常见错解剖析

喻俊鹏

一次函数是初中数学中“数与代数”部分的重要内容，同学们在初学时，由于对其概念理解不透，忽视限制条件，分析考虑问题不全面，常常会出现各种各样的错误。下面就同学们出现的一些常见错解进行分类剖析。

一、概念理解不清出错

例1已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是关于x的一次函数的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

错解选择“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函数叫一次函数，其中k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选择“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。

正解观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知正确的选择应该是“C”。

二、忽视限制条件出错

例2已知函数y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函数，则m=_________。

错解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值为m=3或m=-3。

剖析上述错误出在忽视了一次函数y=kx+b中要求k≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x轴的一条直线，其直线上任意点的纵坐标都为-7，是一个常数函数，而非一次函数。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函数图像与直线关系混淆出错

例3 已知直线y=mx-5m+4不经过第四象限，则m的取值范围是 ________。

错解由题意可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。则m的取值范围是0＜m≤■。

剖析一次函数的图像是直线，但直线并不一定是一次函数。本题题设中的直线就没有说明它一定是一次函数的图像，因此，直线y=mx-5m+4，当m=0时，y=4，其图像也不经过第四象限，所以m=0也符合题设条件。上述解法正是忽视了直线y=b（b＞0）的图像不经过第四象限这一情况而导致出错。

正解由题设可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。则所求m的取值范围是0≤m≤■。

四、思考问题不全面出错

例4已知一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y的取值为1≤y≤9，则b2-k3的值等于________。

错解由题意知，当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考虑了y随x的增大而增大的情形，由于题设中并没有告诉k的取值范围，这说明k的值可为正也可为负，因此y也可随x的增大而减小，上面的解法正是没有全面考虑到这一点而导致出现漏解错误。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因为当x=-3时，y=9；当x=1时，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值为41或17。

五、读取图像信息出错

例5 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图1所示，有下列结论：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正确的结论是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

错解选择“B”或“C”。

剖析观察图像，当t=100时，乙到达终点，误认为此时b=500，是错误选择“C”的原因所在，而错误计算甲到达终点的时间为c=500÷4=125，则是错选“B”的主要原因。

正解由题意及读取图像信息可知，当t=100时，甲已出发2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，当t=100时，乙到达终点，所以乙的速度是5米／秒，此时甲、乙两人之间的距离为5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正确；当t=a时，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正确；当t=c时，甲到达终点，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正确，故正确答案应选择“A”。

一次函数是初中数学中“数与代数”部分的重要内容，同学们在初学时，由于对其概念理解不透，忽视限制条件，分析考虑问题不全面，常常会出现各种各样的错误。下面就同学们出现的一些常见错解进行分类剖析。

一、概念理解不清出错

例1已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是关于x的一次函数的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

错解选择“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函数叫一次函数，其中k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选择“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。

正解观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知正确的选择应该是“C”。

二、忽视限制条件出错

例2已知函数y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函数，则m=_________。

错解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值为m=3或m=-3。

剖析上述错误出在忽视了一次函数y=kx+b中要求k≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x轴的一条直线，其直线上任意点的纵坐标都为-7，是一个常数函数，而非一次函数。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函数图像与直线关系混淆出错

例3 已知直线y=mx-5m+4不经过第四象限，则m的取值范围是 ________。

错解由题意可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。则m的取值范围是0＜m≤■。

剖析一次函数的图像是直线，但直线并不一定是一次函数。本题题设中的直线就没有说明它一定是一次函数的图像，因此，直线y=mx-5m+4，当m=0时，y=4，其图像也不经过第四象限，所以m=0也符合题设条件。上述解法正是忽视了直线y=b（b＞0）的图像不经过第四象限这一情况而导致出错。

正解由题设可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。则所求m的取值范围是0≤m≤■。

四、思考问题不全面出错

例4已知一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y的取值为1≤y≤9，则b2-k3的值等于________。

错解由题意知，当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考虑了y随x的增大而增大的情形，由于题设中并没有告诉k的取值范围，这说明k的值可为正也可为负，因此y也可随x的增大而减小，上面的解法正是没有全面考虑到这一点而导致出现漏解错误。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因为当x=-3时，y=9；当x=1时，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值为41或17。

五、读取图像信息出错

例5 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图1所示，有下列结论：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正确的结论是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

错解选择“B”或“C”。

剖析观察图像，当t=100时，乙到达终点，误认为此时b=500，是错误选择“C”的原因所在，而错误计算甲到达终点的时间为c=500÷4=125，则是错选“B”的主要原因。

正解由题意及读取图像信息可知，当t=100时，甲已出发2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，当t=100时，乙到达终点，所以乙的速度是5米／秒，此时甲、乙两人之间的距离为5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正确；当t=a时，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正确；当t=c时，甲到达终点，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正确，故正确答案应选择“A”。

一次函数是初中数学中“数与代数”部分的重要内容，同学们在初学时，由于对其概念理解不透，忽视限制条件，分析考虑问题不全面，常常会出现各种各样的错误。下面就同学们出现的一些常见错解进行分类剖析。

一、概念理解不清出错

例1已知下列函数：①y=2013x；②y-8x=13；③y=■-1；④y=3x2+7；

⑤y=-■x-5，其中y是关于x的一次函数的是（ ）。

A．①③④⑤ B．②③⑤

C．①②⑤ D．②⑤

错解选择“B”或“D”。

剖析形如y=kx+b（k≠0）的函数叫一次函数，其中k、b为常数，k≠0，但b可以为0，当b=0时，函数y=kx（k≠0）为正比例函数，它是一次函数的特殊情形，上述错解中选择“D”的同学就是忽略了这一点，而函数③、④根本就不符合一次函数的定义，选择“B”的同学正是由于对一次函数的概念理解不清而出错。

正解观察上述各函数的表达式，对照一次函数的定义，可知正确的选择应该是“C”。

二、忽视限制条件出错

例2已知函数y=（m-3）x｜m｜-2-7是一次函数，则m=_________。

错解由｜m｜-2=1，解得m=±3。所以所求m的值为m=3或m=-3。

剖析上述错误出在忽视了一次函数y=kx+b中要求k≠0这一限制条件，因为当m=3时，m-3=0，此时函数解析式为y=-7，它是平行于x轴的一条直线，其直线上任意点的纵坐标都为-7，是一个常数函数，而非一次函数。

正解由｜m｜-2=1，解得m=±3。当m=3时，m-3=0，故舍去，所以m=-3。

三、函数图像与直线关系混淆出错

例3 已知直线y=mx-5m+4不经过第四象限，则m的取值范围是 ________。

错解由题意可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m＞0，-5m+4≥0。解得0＜m≤■。则m的取值范围是0＜m≤■。

剖析一次函数的图像是直线，但直线并不一定是一次函数。本题题设中的直线就没有说明它一定是一次函数的图像，因此，直线y=mx-5m+4，当m=0时，y=4，其图像也不经过第四象限，所以m=0也符合题设条件。上述解法正是忽视了直线y=b（b＞0）的图像不经过第四象限这一情况而导致出错。

正解由题设可知，直线过一、二、三象限或一、三象限，

所以m≥0，-5m+4≥0。解得0≤m≤■。则所求m的取值范围是0≤m≤■。

四、思考问题不全面出错

例4已知一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y的取值为1≤y≤9，则b2-k3的值等于________。

错解由题意知，当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9，

所以-3k+b=1，k+b=9。解得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

剖析上面的解法只考虑了y随x的增大而增大的情形，由于题设中并没有告诉k的取值范围，这说明k的值可为正也可为负，因此y也可随x的增大而减小，上面的解法正是没有全面考虑到这一点而导致出现漏解错误。

正解由上面的解法可求得k=2，b=7。所以b2-k3=72-23=41。

又因为当x=-3时，y=9；当x=1时，y=1。

所以-3k+b=9，k+b=1。解得k=-2，b=3。所以b2-k3=32-（-2）3=17。

所以b2-k3的值为41或17。

五、读取图像信息出错

例5 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图1所示，有下列结论：

①a=8；②b=92；③c=123，其中正确的结论是（ ）。

■

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

错解选择“B”或“C”。

剖析观察图像，当t=100时，乙到达终点，误认为此时b=500，是错误选择“C”的原因所在，而错误计算甲到达终点的时间为c=500÷4=125，则是错选“B”的主要原因。

正解由题意及读取图像信息可知，当t=100时，甲已出发2秒，跑了8米，所以甲的速度是4米／秒，当t=100时，乙到达终点，所以乙的速度是5米／秒，此时甲、乙两人之间的距离为5×100-4×（100+2）=92（米），即b=92，故②正确；当t=a时，乙追上甲，所以5a=4a+8，解得a=8（秒），所以①正确；当t=c时，甲到达终点，所以c=500÷4-2=123（秒），因此③也正确，故正确答案应选择“A”。