关于线性代数课程教学方法的探讨

摘要：线性代数是工科数学的一门重要的基础课。通过对该门数学课程的学习，学生的抽象思维能力、逻辑思维能力以及处理问题能力都能够得到提高。本文具体介绍了笔者在线性代数课程教学中如何使用的讲授法和启发式教学法，并在多年的教学实践的基础上，介绍了在教学中如何以教材为基础，以充分的备课为前提，以激情四射的讲解为平台，深入浅出地讲解线性代数，大力激发学生的学习兴趣，全面提高学习效果。

关键词：线性代数；教学方法；启发式教学

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）22-0070-02

线性代数是以工科为特色的高校开设的一门数学基础课。课程设置的主要目的是让学生通过抽象性、逻辑性、应用性的必要训练，逐步形成运用线性代数[1]的原理和方法解决实际问题的思维模式和思维习惯，并为后继课程如随机过程、矩阵分析及抽象代数等课程提供学习所必需的代数知识。线性代数教学效果的好坏，直接影响到学生的培养质量。可以说，代数代数的理论和方法[2][3]是许多课程的重要基础。同时线性代数的抽象性强，概念较多，常常使初学者感到吃力。关于线性代数课程教学方法的探讨[4]是数学教育工作者所广泛关注的问题。什么是线性代数（Linear Algebra）？代数一词源于阿拉伯语，原意是“结合在一起”。也就是说代数的作用是把许多看似不相关的事物“结合在一起”，即进行抽象。抽象的目的当然不是为了显示数学家本人智商有多高，而是为了更深刻地描述问题，解决问题。要想看得更远，我们只有站得更高。比如正因为我们引入了线性代数中的抽象概念——线性空间，才得以对宇宙间的所有的线性空间类的集合的性质有了深入的研究。而这样的集合在我们生活中又是普遍存在的。抽象的神奇和美妙由此可见一斑也。在工科院校的大多数专业中，线性代数都是重要的课程。它不仅是各专业的后继课程的基础，也是培养人才所必需的思维能力、提高学生解决问题能力的途径。尽管线性代数的教学方法多种多样，但不管采取何种方法，都应以尽可能使学生通过课堂的学习得到更大的收获为原则。现代数学教学方法很多，如启发式问题教学法、讲授法、引导探索式教学法等。以下分别谈谈讲授法与启发式教学法。

一、讲授法

线性代数往往采用大班授课方式，学生人数多，学时数有限，因此讲授法在线性代数课程教学中必然占据重要的地位。讲授法是指教师直接讲解，通过简明、生动的口头语言，向学生系统地传授知识、发展学生智力的方法。线性代数的主要内容是行列式与矩阵。行列式不仅是克拉默法则的准备知识，也是研究矩阵的一个工具。矩阵是线性映射的刻画，矩阵的特征值与特征向量是研究线性变换过程中的变与不变的必然途径。这些知识的引入本身是自然，美妙又生动的。但如果在讲授过程中没有注意到这一点，只是对着书本或者课件泛泛而谈，必定枯燥乏味，效果亦可想而知。因此我们在讲授一门课之前首先应该博览群书，虚心请教教学经验丰富的老师，然后花大量时间认真备课。在线性代数课程中，特别应注意到对这几个数学概念的讲解：（1）行列式的来龙去脉，行列式的作用；（2）矩阵的来龙去脉，矩阵的秩是什么；（3）为什么要研究相似矩阵，为什么要引入特征值，特征向量；（4）为什么要研究二次型。同时，应在授课过程中用板书的形式加强对这以下几个重要的计算方法的训练：（1）行列式的计算；（2）矩阵的初等行变换（重中之重）；（3）线性方程组的求解；（4）特征值与特征向量的计算（重中之重，工科学生后续课程必备能力之一）；（5）相似对角化的计算；（6）二次型的标准型的计算。之所以采用讲授法，主要是因为第一：该法的课堂效率比较高，能在有限的时间内使用更多的教学手段，尽可能使学生获得更大的知识量。第二：能充分发挥教师在教学中的主导作用，有利于教学任务的顺利完成。讲授法的缺点在于它以单向的信息传输方式，任课教师不能“抓住”学生的注意力，便会不利于学生的发挥自身的主观能动性。爱因斯坦有句名言：“兴趣是最好的老师”，浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲，是学生获得学习成功的关键因素之一。因此在授课时还要注意千方百计激发学生的学习兴趣，比如适当介绍与代数紧密相关的前沿问题（比如费马大定理），介绍代数的发展史（比如数的发展），介绍相关的数学人物（比如伽罗瓦，阿贝尔），既能吸引学生的注意力，又能提高学生对代数的认识并激发他们对高等代数的热爱。在授课方式上，可采用多媒体与板书相结合的方式。

二、启发式教学法

为了弥补单纯的讲授法的不足，应在线性代数的课堂上融入启发式教育，引导鼓励学生进行各种思维的思考模式下的思考，比如发散性思维，联想思维，这也是培养创新型人才的重要手段。比如我们在介绍完矩阵的乘法、转置等运算之后，可以“趁机”引导学生们思考“为什么矩阵不定义除法运算”。再比如在介绍矩阵的迹运算，可以介绍如下不等式：tr2（AB）≤（trAAT）（trBBT），A.B∈Mn（R）。然后“借题发挥”，然后介绍定积分运算，期望运算下的同形式的不等式，最后介绍内积的运算与Cauchy-Schwartz不等式[5，6]。矩阵的研究在线性代数中占重要的笔墨。现行教学中的矩阵都是基于数域（大多为实数域或复数域）上，那么我们能不能对基于交换环上的矩阵[7]展开研究呢？这是一个很有趣的问题。我们可以以此启发学生，激发他们的学习兴趣，鼓励他们去查阅资料。矩阵的秩，矩阵的相抵，矩阵的特征值，矩阵的相似，矩阵的相合，这些数学概念都是从一些不同科学领域中的实际问题经过高度抽象高度提炼而得到的，是前人创性工作的成果，是经历过时间的检验的，他们的形成过程本身就是一个个体现创新思维的过程。仅仅局限于教材的话，学生根本看不到鲜活的、曲折的、有趣的创造过程，看到的只是那些经过简化整理的论证形态，其叙述顺序与发现过程往往是相反的，这是造成学生们学习线性代数时感到困难的一个原因。作为教师，所以我们要补充一些对知识的来龙去脉的讲解。比如我在讲解矩阵的特征值与特征向量时，经常会说一下他们的几何意义。我们知道特征值与特征向量的定义：满足Aα=λα的非零实数λ与向量α。矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，也就相当于把一个向量变成同维数的另一个向量，即对该向量做了一个变换，那么变换的结果是如何？一个变换的特征向量其实是这样的向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已，其实也就对应到该变换下的不变子空间。另外，谈谈课堂例题与课后作业题的相关问题。众所周知的是，数学知识的讲解与学习是离不开做题的。目前的情况是，理工科的线性代数课程一般是40～48学时，学时比较少，内容比较多。很多学生在课堂上基本能够听懂，但没有及时进行复习，也没有做一定数目的习题，完全达不到熟练运用的程度。因此，一方面我们应花大力气对作为课堂的例题的题目反复斟酌，精挑细选，以求我们在课堂的例题能够更有效的帮助学生们掌握数学知识，数学方法与数学技巧，也使我们选择的例题更容易给学生们留下深刻的印象。另一方面，我们还需重视布置的课后习题选取，这不仅能帮助学生掌握和巩固所学知识，也能让让教师通过作业完全情况获得学生近期学习情况的信息。我们对作业的批改必须非常仔细，因为作业是老师与学生个体进行交流的主要途径。错误的地方要给出批示，我们还要按时讲评作业，这样才能提高我们的教学质量。我们应督促学生对课后的知识点、不同题型其解题方法以及解题技巧进行归纳总结，提醒并鼓励学生们相互之间的交流与学习，及时帮助他们解决学习过程中遇到的困难，帮助他们提高学习效率与效果。

随着时代的变迁，学生的特点也在发生改变。我们只有与时俱进，不断改进我们的教学方法，才能使教学质量得到提高。

参考文献：

[1]同济大学数学系编.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]王恒太，刘邵容.线性代数教学的几点思考[J].教育教学论坛，2013，（28）：103-104.

[3]李玲玲，徐华锋.线性代数教学方法的思考与实践[J].教育教学论坛，2012，（30）：22-23.

[4]李益.探索“双引导”导激教学方式培养创新人才[J].重庆邮电大学学报社会科学版，2012，24（6）：127-130.

[5]蹇红.弱初等变换解矩阵方程AXB=C和CR分解[J].中国科技信息，2013，（19）：51-52.

[6]孙春涛.Cauchy-Schwarz不等式的应用[J].四川兵工学报，2011，32（2）：155-156.

[7]孙春涛，蹇红.关于整数矩阵的几个问题的思考[J].重庆师范大学学报自然科学版，2013，30（2）：39-41.

基金项目：重庆邮电大学信息计算科学，数学与应用数学专业提升计划；重庆邮电大学教育教学改革研究项目。

作者简介：孙春涛（1980—），男，重庆邮电大学数理学院，讲师；蹇红（1980—），女，重庆邮电大学数理学院，讲师。endprint