大型特征值问题的修正块Jacobi—Davidson算法

缪红益

【摘要】块Jacobi-Davidson算法是计算大型实对称矩阵特征值问题的有效算法。算法分为内外两层迭代，外层迭代计算矩阵特征对，内层迭代求解校正方程组，计算量主要花费是校正方程组的求解.本文研究块Jacobi—Davidson方法中校正方程的求解.在校正方程的求解过程中使用外推技术，使收敛的速度加快。

【关键词】块Jacobi-Davidson算法 校正方程 外推技术

在科学和工程技术的许多领域，经常需要计算大型稀疏对称矩阵的若干个极端（最大或最小）或内部特征值及相应的特征向量.1996年， Sleijpen和VanderVorst将Jacobi方法的校正思想和Davidson方法的内外迭代格式相结合，提出了求解大型矩阵特征值问题的Jacobi-Davidson方法.该方法具有较好的稳定性，并且对非对角占优、非正规矩阵也能达到较快的收敛速度.但当待求的特征值是重特征值或者分布比较密集时，Jacobi-Davidson方法的有效性和可靠性会下降.为了克服Jacobi-Davidson方法的这一缺点，有学者提出了块Jacobi-Davidson方法，它可以同时计算多个特征对.

算法1：

块Jacobi—Davidson算法分为内外两层迭代，外层迭代计算矩阵特征对，内层迭代求解校正方程组，计算量主要花费是校正方程组的求解.

上述定理表明，只要选择合适的参数w，可使方法是收敛速度加快。

参考文献：

[1]G.L.G.SLELJPEN， H.A.VAN DER VORST. A Jacobi-Davidson method for linear eigenvalue problems[J]. SIAM.J. Matrix Anal，Appl.，1996，（17）401-425

[2]M.CROUZEIX，B.PHILIPPE，And M.SADKANE，The Davidson method， SIAM，Sci，Comput.，1994，（15）：62-76.

[3]E.R.DAVIDSON， The iterative calculation of a few of the lowest eigenvalue and correspondingeigenvectors of large real-symmetric matrices，J，Comut.Phys.，1975，（17）：87-94.endprint

【摘要】块Jacobi-Davidson算法是计算大型实对称矩阵特征值问题的有效算法。算法分为内外两层迭代，外层迭代计算矩阵特征对，内层迭代求解校正方程组，计算量主要花费是校正方程组的求解.本文研究块Jacobi—Davidson方法中校正方程的求解.在校正方程的求解过程中使用外推技术，使收敛的速度加快。

【关键词】块Jacobi-Davidson算法 校正方程 外推技术

在科学和工程技术的许多领域，经常需要计算大型稀疏对称矩阵的若干个极端（最大或最小）或内部特征值及相应的特征向量.1996年， Sleijpen和VanderVorst将Jacobi方法的校正思想和Davidson方法的内外迭代格式相结合，提出了求解大型矩阵特征值问题的Jacobi-Davidson方法.该方法具有较好的稳定性，并且对非对角占优、非正规矩阵也能达到较快的收敛速度.但当待求的特征值是重特征值或者分布比较密集时，Jacobi-Davidson方法的有效性和可靠性会下降.为了克服Jacobi-Davidson方法的这一缺点，有学者提出了块Jacobi-Davidson方法，它可以同时计算多个特征对.

算法1：

块Jacobi—Davidson算法分为内外两层迭代，外层迭代计算矩阵特征对，内层迭代求解校正方程组，计算量主要花费是校正方程组的求解.

上述定理表明，只要选择合适的参数w，可使方法是收敛速度加快。

参考文献：

[1]G.L.G.SLELJPEN， H.A.VAN DER VORST. A Jacobi-Davidson method for linear eigenvalue problems[J]. SIAM.J. Matrix Anal，Appl.，1996，（17）401-425

[2]M.CROUZEIX，B.PHILIPPE，And M.SADKANE，The Davidson method， SIAM，Sci，Comput.，1994，（15）：62-76.

[3]E.R.DAVIDSON， The iterative calculation of a few of the lowest eigenvalue and correspondingeigenvectors of large real-symmetric matrices，J，Comut.Phys.，1975，（17）：87-94.endprint

【摘要】块Jacobi-Davidson算法是计算大型实对称矩阵特征值问题的有效算法。算法分为内外两层迭代，外层迭代计算矩阵特征对，内层迭代求解校正方程组，计算量主要花费是校正方程组的求解.本文研究块Jacobi—Davidson方法中校正方程的求解.在校正方程的求解过程中使用外推技术，使收敛的速度加快。

【关键词】块Jacobi-Davidson算法 校正方程 外推技术

在科学和工程技术的许多领域，经常需要计算大型稀疏对称矩阵的若干个极端（最大或最小）或内部特征值及相应的特征向量.1996年， Sleijpen和VanderVorst将Jacobi方法的校正思想和Davidson方法的内外迭代格式相结合，提出了求解大型矩阵特征值问题的Jacobi-Davidson方法.该方法具有较好的稳定性，并且对非对角占优、非正规矩阵也能达到较快的收敛速度.但当待求的特征值是重特征值或者分布比较密集时，Jacobi-Davidson方法的有效性和可靠性会下降.为了克服Jacobi-Davidson方法的这一缺点，有学者提出了块Jacobi-Davidson方法，它可以同时计算多个特征对.

算法1：

块Jacobi—Davidson算法分为内外两层迭代，外层迭代计算矩阵特征对，内层迭代求解校正方程组，计算量主要花费是校正方程组的求解.

上述定理表明，只要选择合适的参数w，可使方法是收敛速度加快。

参考文献：

[1]G.L.G.SLELJPEN， H.A.VAN DER VORST. A Jacobi-Davidson method for linear eigenvalue problems[J]. SIAM.J. Matrix Anal，Appl.，1996，（17）401-425

[2]M.CROUZEIX，B.PHILIPPE，And M.SADKANE，The Davidson method， SIAM，Sci，Comput.，1994，（15）：62-76.

[3]E.R.DAVIDSON， The iterative calculation of a few of the lowest eigenvalue and correspondingeigenvectors of large real-symmetric matrices，J，Comut.Phys.，1975，（17）：87-94.endprint