在数学习题开发中培养学生创造性思维

尹中华

摘 要：在教学中充分激发学生的创造性思维的过程是数学教学的重要原则，要培养学生的数学创新能力，必须培养学生的数学创造性思维，培养学生思维的灵活性是数学教学工作的一个重要环节。

关键词：数学教学；创造性思维；习题

良好的思维品质非一朝一夕所能形成的。在教学中，笔者抓住数学习题特点，进行多向思维训练，有利于学生创新意识的形成和发展。

在数学教学中，“一题多解”是训练和培养学生灵活思维的一种良好手段，通过“一题多解”的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，使学生逐步学会举一反三的本领。在教材安排的例题中，有相当多的题目存在一题多解的情况。

例：三角形ABC中，AB=AC，O为图形（图1）内一点，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：从条件上看，题目条件都是角，AB=AC，也和角能联系上，于是想到，从三角形的内角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度数。

■

图1

尝试：用方程思想求解，设∠CAO为x，但建立起来的方程都无法求解。但通过角的关系可以获得信息：OD=CD。从上面的尝试知道，只从角的角度，是无法求解∠CAO的大小，但通过前面的尝试，发现了一些边相等，因此，可以想到求解的第二条思路：通过证明全等（或相似）证明要求的角等于已知角。于是想到挖掘题目中的隐含条件，容易发现∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常见求值题目中给的都是特殊角，其含有隐含条件∠OCB=2∠OBC（几何题中常常将角的关系通过具体值给出，给解题思路带来干扰）。所以，可作∠OCB的平分线，构造等腰三角形，将边和角联系起来。如图2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE为公共边。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。结合图形我们可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要证∠CAO=20°，只需证∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想获得了新的思路：证明AE=AO。

在三角形内，证明两边相等，常见思路有：

思路1：两条线段在同一个三角形内，可考虑证明这个三角形是等腰三角形。因此，这里我们尝试证明△AEO是等腰三角形，这时，又转化到要证明∠AEO=∠AOE，这正是我们要证明的结论，又走到老路上去了，显然这条路是行不通的。

■

图2

思路2：把两条线段放在两个三角形中，再证明这两个三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE显然都不和他们全等，因此，考虑构造全等三角形。

如何构造呢？显然要作一个三角形，使其有一个角与∠AOC相等为20°，因此不难想到作角∠BAE的平分线，交BD于F。这样，目标转化为证明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要证明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一边相等。

■

图3

显然，如果找角相等又转回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一边相等，而AE=AO是要证明的结论，因此，结论转化为证明：FE=OD。由于FE和OD不在同一个三角形内，无法用等角对对边定理来证明，且这时通过证明这两边所在三角形全等去证明也是行不通的。

结合前面的发现，图中有角平分线和相似三角形，获得新的思路：通过比例转换去证明线段。

由AF是∠BAE的平分线，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以问题得解。

“一题多解”是加深和巩固所学知识的有效途径和方法，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和培养。

摘 要：在教学中充分激发学生的创造性思维的过程是数学教学的重要原则，要培养学生的数学创新能力，必须培养学生的数学创造性思维，培养学生思维的灵活性是数学教学工作的一个重要环节。

关键词：数学教学；创造性思维；习题

良好的思维品质非一朝一夕所能形成的。在教学中，笔者抓住数学习题特点，进行多向思维训练，有利于学生创新意识的形成和发展。

在数学教学中，“一题多解”是训练和培养学生灵活思维的一种良好手段，通过“一题多解”的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，使学生逐步学会举一反三的本领。在教材安排的例题中，有相当多的题目存在一题多解的情况。

例：三角形ABC中，AB=AC，O为图形（图1）内一点，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：从条件上看，题目条件都是角，AB=AC，也和角能联系上，于是想到，从三角形的内角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度数。

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图1

尝试：用方程思想求解，设∠CAO为x，但建立起来的方程都无法求解。但通过角的关系可以获得信息：OD=CD。从上面的尝试知道，只从角的角度，是无法求解∠CAO的大小，但通过前面的尝试，发现了一些边相等，因此，可以想到求解的第二条思路：通过证明全等（或相似）证明要求的角等于已知角。于是想到挖掘题目中的隐含条件，容易发现∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常见求值题目中给的都是特殊角，其含有隐含条件∠OCB=2∠OBC（几何题中常常将角的关系通过具体值给出，给解题思路带来干扰）。所以，可作∠OCB的平分线，构造等腰三角形，将边和角联系起来。如图2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE为公共边。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。结合图形我们可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要证∠CAO=20°，只需证∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想获得了新的思路：证明AE=AO。

在三角形内，证明两边相等，常见思路有：

思路1：两条线段在同一个三角形内，可考虑证明这个三角形是等腰三角形。因此，这里我们尝试证明△AEO是等腰三角形，这时，又转化到要证明∠AEO=∠AOE，这正是我们要证明的结论，又走到老路上去了，显然这条路是行不通的。

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图2

思路2：把两条线段放在两个三角形中，再证明这两个三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE显然都不和他们全等，因此，考虑构造全等三角形。

如何构造呢？显然要作一个三角形，使其有一个角与∠AOC相等为20°，因此不难想到作角∠BAE的平分线，交BD于F。这样，目标转化为证明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要证明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一边相等。

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图3

显然，如果找角相等又转回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一边相等，而AE=AO是要证明的结论，因此，结论转化为证明：FE=OD。由于FE和OD不在同一个三角形内，无法用等角对对边定理来证明，且这时通过证明这两边所在三角形全等去证明也是行不通的。

结合前面的发现，图中有角平分线和相似三角形，获得新的思路：通过比例转换去证明线段。

由AF是∠BAE的平分线，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以问题得解。

“一题多解”是加深和巩固所学知识的有效途径和方法，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和培养。

摘 要：在教学中充分激发学生的创造性思维的过程是数学教学的重要原则，要培养学生的数学创新能力，必须培养学生的数学创造性思维，培养学生思维的灵活性是数学教学工作的一个重要环节。

关键词：数学教学；创造性思维；习题

良好的思维品质非一朝一夕所能形成的。在教学中，笔者抓住数学习题特点，进行多向思维训练，有利于学生创新意识的形成和发展。

在数学教学中，“一题多解”是训练和培养学生灵活思维的一种良好手段，通过“一题多解”的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，使学生逐步学会举一反三的本领。在教材安排的例题中，有相当多的题目存在一题多解的情况。

例：三角形ABC中，AB=AC，O为图形（图1）内一点，∠BAC=80°，∠OBC=10°，∠OCB=20°，求∠CAO的大小。

分析：从条件上看，题目条件都是角，AB=AC，也和角能联系上，于是想到，从三角形的内角和及外角定理求解。很快可以得出下列角的度数。

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图1

尝试：用方程思想求解，设∠CAO为x，但建立起来的方程都无法求解。但通过角的关系可以获得信息：OD=CD。从上面的尝试知道，只从角的角度，是无法求解∠CAO的大小，但通过前面的尝试，发现了一些边相等，因此，可以想到求解的第二条思路：通过证明全等（或相似）证明要求的角等于已知角。于是想到挖掘题目中的隐含条件，容易发现∠OBC=10°，∠OCB=20°的值很特殊，不像常见求值题目中给的都是特殊角，其含有隐含条件∠OCB=2∠OBC（几何题中常常将角的关系通过具体值给出，给解题思路带来干扰）。所以，可作∠OCB的平分线，构造等腰三角形，将边和角联系起来。如图2：所以，BE=EC，又AB=AC，AE为公共边。所以∠EAC=∠EAB=■∠BAC=40°；因此AE=BE=CE，由此知：∠CAO小于40°。

猜想：（1）∠CAO=10°；（2）∠CAO=20°；（3）∠CAO=30°。结合图形我们可以得出最有可能的猜想：∠CAO=20°。易知∠AEO=80°，因此要证∠CAO=20°，只需证∠EAO=30°，∠AOE=80°，因此由猜想获得了新的思路：证明AE=AO。

在三角形内，证明两边相等，常见思路有：

思路1：两条线段在同一个三角形内，可考虑证明这个三角形是等腰三角形。因此，这里我们尝试证明△AEO是等腰三角形，这时，又转化到要证明∠AEO=∠AOE，这正是我们要证明的结论，又走到老路上去了，显然这条路是行不通的。

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图2

思路2：把两条线段放在两个三角形中，再证明这两个三角形全等。而AO所在三角形有△AOD，△AOC，而AE所在△ABE显然都不和他们全等，因此，考虑构造全等三角形。

如何构造呢？显然要作一个三角形，使其有一个角与∠AOC相等为20°，因此不难想到作角∠BAE的平分线，交BD于F。这样，目标转化为证明△AFE≌△ADO，容易得到∠AFD=60°，所以AF=AD，△ABF∽△ECD。因而，要证明△AFE≌△ADO只需再找一角相等或一边相等。

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图3

显然，如果找角相等又转回到了老路上，是行不通的，因此只能再找一边相等，而AE=AO是要证明的结论，因此，结论转化为证明：FE=OD。由于FE和OD不在同一个三角形内，无法用等角对对边定理来证明，且这时通过证明这两边所在三角形全等去证明也是行不通的。

结合前面的发现，图中有角平分线和相似三角形，获得新的思路：通过比例转换去证明线段。

由AF是∠BAE的平分线，所以■=■，所以■=■；由△ABF∽△ECD，所以■=■，所以■=■，而AE=CE，所以EF=CD=OD。所以问题得解。

“一题多解”是加深和巩固所学知识的有效途径和方法，充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和培养。