三元域上三次和四次剩余码的幂等生成元

董学东，张瑶，张妍

1.大连大学信息工程学院，辽宁大连 116622

2.辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029

三元域上三次和四次剩余码的幂等生成元

董学东1，张瑶2，张妍2

1.大连大学信息工程学院，辽宁大连 116622

2.辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029

1 引言

在通信系统中，为提高信息传输可靠性，广泛使用了具有一定纠错能力的信道编码技术，如奇偶校验码、汉明码、循环码等编码技术。二次剩余码是特殊的循环码，又是汉明码和格雷码的推广。因此研究二次剩余码以及它们的推广形式具有重要的理论意义和实际价值。文献[1]的第十六章讨论了二元域F2上四种二次剩余码之间的关系，给出了四种二次剩余码的幂等生成元。文献[2-5]定义了有限域Fq上的高次剩余码，给出了这些码生成多项式的形式。高次剩余码的生成多项式都是多项式xn-1的因式。然而要求出这些高次剩余码，就需要在有限域Fq上分解xn-1。当n很大时，这是一件十分困难的任务。如果能够确定高次剩余码幂等生成元，求这些幂等生成元与xn-1最大公因式就可得到高次剩余码生成多项式而不用分解xn-1[1]。文献[6]给出了二元域F2上三次和四次剩余码的幂等生成元表达式。三元域不像二元域那样简单，许多在二元域上显然成立的结果在三元域上不一定成立。因此确定三元域F3上三次和四次剩余码的幂等生成元表达式并不容易。本文使用与文献[6]不同的枚举方法给出了三元域F3上三次和四次剩余码的幂等生成元表达式。

2 预备知识

定义1[3]如果方程xt≡3(modp)有解，则称3是模p的一个t次剩余。

引理1[3]设t|(p-1)，则3是模p的一个t次剩余⇔

以下假设p是奇素数，t是正整数并且t|(p-1)，3是模p的一个t次剩余。设ρ为有限域Fp的本原元，令

3 三元域上三次剩余码的幂等生成元

4 三元域上四次剩余码的幂等生成元

5 结束语

针对多项式xn-1在有限域上分解的困难性，给出了三元域上三次和四次剩余码的幂等生成元表达式。求解这些幂等生成元与多项式xn-1最大公因式就可得到三元域上三次和四次剩余码的生成多项式。而在有限域上求解两个多项式的最大公因式可用已有的计算机软件如Maple，Matlab等来解决。从而可得到具体的三元域上三次和四次剩余码。用文中枚举的方法求解五元域或更高阶的有限域上三次和四次剩余码的幂等生成元表达式可能是非常困难的。如何确定高次剩余码的幂等生成元是一个有待研究的问题。

[1]Macwilliams F J，Sloane N J A.The theory of error-correcting codes[M].Amsterdam，the Netherlands：[s.n.]，1977.

[2]董学东，高洁，杨丽.关于三次剩余码[J].辽宁师范大学学报，2002，25（1）：1-2.

[3]高洁.关于e次剩余码[D].大连：辽宁师范大学，2002.

[4]高丽，李体政，封利锋.关于四次剩余码及其推广[J].天津师范大学学报，2003，23（1）：37-39.

[5]朱士信，陈安顺.域F2上的三次剩余码[J].电子学报，2008，36（12）：2312-2314.

[6]董学东，李文杰，张妍.二元域上三次和四次剩余码的幂等生成元[J].计算机工程与应用，2013，49（11）：41-44.

[7]Huffman W C，Pless V.Fundamentals of error correcting codes[M].[S.l.]：Cambridge University Press，2003：138-144.

DONG Xuedong1,ZHANG Yao2,ZHANG Yan2

1.College of Information Engineering,Dalian University,Dalian,Liaoning 116622,China
2.School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian,Liaoning 116029,China

The generating polynomials of higher degree residue codes over finite fields are factors of the polynomialxn-1. Generally speaking,it is difficult to factor the polynomialxn-1over finite fields.This paper gives generating idempotents of cubic and quartic residue codes over the fieldF3.As a result,the generating polynomials of cubic and quartic residue codes over the fieldF3can be obtained by computing the greatest common divisors of these generating idempotents and the polynomialxn-1with computer software such as Matlab and Maple.

generating idempotent;residue code;cyclic code

有限域上高次剩余码的生成多项式都是多项式xn-1的因式。针对多项式xn-1在有限域上分解的困难性，给出了三元域F3上三次和四次剩余码的幂等生成元表达式。利用计算机软件求解这些幂等生成元与xn-1最大公因式就可得到三次和四次剩余码生成多项式而不用分解xn-1。

幂等生成元；剩余码；循环码

A

TN911.22

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0174

DONG Xuedong,ZHANG Yao,ZHANG Yan.Generating idempotents of cubic and quartic residue codes over fieldF3.Computer Engineering and Applications,2014,50（18）：113-117.

国家自然科学基金（No.10171042）；辽宁省教育厅高校科研项目（No.L2010234）。

董学东（1961—），男，博士，教授，研究领域：编码密码学；张瑶（1985—），女，硕士，研究领域：编码密码学；张妍（1978—），女，博士研究生，讲师，研究领域：编码密码学。E-mail：dongxuedong@dl.cn

2012-10-18

2012-12-14

1002-8331（2014）18-0113-05

CNKI网络优先出版：2013-01-11，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130111.0953.015.html