相对n-FP-内射模

张齐,朱辉辉

(1.铜陵学院数学与计算机学院,安徽铜陵244000;2.东南大学数学系,江苏南京210096)

相对n-FP-内射模

张齐1,朱辉辉2

(1.铜陵学院数学与计算机学院,安徽铜陵244000;2.东南大学数学系,江苏南京210096)

给出了n-FP-内射模的定义,M为左R-模,如果对任意的左R-模N有Ext1(N,M)=0,则称M为n-FP-内射模,作为应用,给出了n-FP-内射模的一些等价条件.

余挠理论;FP-投射维数;n-FP-内射模;(预)覆盖

1 引言

本文中,R表示有单位元的结合环,所有的模均指酉模,记M表示左R模.令0→M→E0→E1→………为模M的一个内射分解,其中L0=M,L1=Im(E0→E1), Li=Im(Ei−1→Ei),称Ln为M的第n个上合冲[1].符号wD(R),pd(M)和id(M)分别表示环R的弱整体维数,模M的投射维数以及内射维数.用HomR(M,N)((M,N))表示Hom(M,N)(Extn(M,N)).如果对任意的有限表示R-模N都有Ext1(M,N)=0,称M为FP-投射模.模M的FP-投射维数(FP-fd(M))定义为最小的数n≥0使得Extn+1(M,N)=0(N为有限表示的左R-模),如果这样的n不存在,定义FP-fd(M)=∞, l.FP−dim(R)定义为sup{FP-fd(M),M为左R-模},FPn(FCn)表示所有FP-投射维数(FP-内射维数)小于等于n的左R-模类.

环R被称为左凝聚环如果R的每个有限生成左理想都是有限表示的,左R-模类(F,C)称为余挠的,如果F⊥=C和⊥C=F,其中

设C为左R-模类,同态ϕ:M→F称为模F的C-预覆盖(M∈C),如果对任意的f:M′→F,存在同态g:M′→M使得f=ϕg.如果同态g是M的同构,则F的C-预覆盖叫做F的C-覆盖.对偶地,可以定义C-预包络和C-包络.由文献[2]知,如果Kerβ∈C⊥,则同态β:F→M(F∈C)为M的一个特殊C-预覆盖.显然,特殊的C-预覆盖是C预覆盖.

1993年,文献[3]讨论了内射模的投射维数.2005年,文献[2]考虑了相对FP-投射模,并且给出了相对FP-投射模的一些等价条件.更多关与投射模,内射模的结果可参考文献[4-10].受文献[2]启发,考虑相对n-FP-内射模及其相关性质.因此,一些关于相对FP-内射模的结果是本文的推论.

2 定义及主要结果

首先,给出n-FP-内射模的定义.

定义2.1设R为任意环,n为非负数,M为左R-模,如果对任意的左R-模N(FP-fd(N)≤n)都有Ext1(N,M)=0.则称M为n-FP-内射模.把0-FP-内射模称为FP-内射模.

对左R-模M,设vR(M)=sup{n:M为n-FP-内射模},定义vR(M)=−1如果对某些FP-投射左R-模N有Ext1(N,M)/=0.环的左维数(l.v-dim(R))定义为最小的非负数n使得vR(M)≥n,对任意的左R-模M有vR(M)=∞,如果不存在这样的n,规定l.v-dim(R)=∞.

命题2.1

(1)m-FP-内射模一定为n-FP-内射模(m≤n);

(2)vR(M)≥n当且仅当对某个数n≥0,M为n-FP-内射模;vR(M)=∞当且仅当对任意的数m≥0,M为m-FP-内射模,当且仅当对所有的左R-模N(FP-fd(N)<∞)都有Ext1(N,M)=0;

(3)如果l.FP-dim(R)≤n,则所有的n-FP-内射左R-模类和所有的内射左R-模类是一致的,因此l.v-dim(R)≤l.FP-dim(R);

(4)若R是左凝聚环且FP-fd(M)=m,则对所有的有限表示左R-模F及k≥1,都有Extm+k(M,F)=0.

引理2.1设R为左凝聚环,M为n-FP-内射左R-模(n≥0),则对任意的左R-模N (FP-fd(N)≤n+1),都有Extj(N,M)=0(j≥2).

证明对FP-fd(N)≤n+1的左R-模N,存在正合列0→K→P→N→0,其中P为投射模,FP-fd(K)≤n,由长正合列定理得:

因此,Extj(N,M)=0(j≥2).

通过引理2.1知：若R是左凝聚环,M为n-FP-内射左R-模,则对FP-fd(N)≤n的左R-模N及数j≥1,有Extj(N,M)=0.

命题2.2设0→A→B→C→0为左R-模正合列.有如下结论:

(1)若VR(A)≥0,则VR(C)≥inf{VR(A)+1,VR(B)};

(2)VR(B)≥inf{VR(A),VR(C)};

(3)如果B=A⊕C,则VR(A⊕C)=inf{VR(A),VR(C)}.

证明对任意的左R-模N,应用长正合列定理,可得:

结合引理2.1即得.

推论2.1设R为有单位的结合换环,则

(1)每个有限表示的左R-模的第n个上合冲Ln是n-FP-内射模;

(2)任意的有限生成的1-FP-内射模的有限生成商模是1-FP-内射模;

(3)对任意的左R-模同态α:M→N,其中M,N是有限生成的1-FP-内射模,有Im(α)是1-FP-内射模,而且如果N是2-FP-内射模,则Im(α)也是2-FP-内射模.

证明(1)设M为有限表示的左R-模,存在整合列:

Ei(1≤i≤n−1)均为内射的,设L1=Im(E0→E1),Ei=Im(Ei−1→Ei),则0→M→E0→L1→0是正合的,既然VR(M)≥0,VR(E0)=∞(E0为内射模),由命题2.2知: VR(L1)≥inf{VR(M)+1}≥1,类推即得(1).

(2)设N为1-FP-内射左R-模M的有限生成子模,则存在如下正合列：0→N→M→M/N→0,应用命题2.2(1)即得.

(3)由Im(α)≤N得Im(α)是有限生成的,所以M/Ker(α)Im(α)是1-FP-内射的,考虑正合列:

应用命题2.2(1)即得(3).

若R是Gorenstein环,则每个Gorenstein内射模都是m-FP-内射模(0≤m<∞).通过文献[2],如果R是n-Gorenstein环,则左R-模M是m-FP-内射模(n≤m<∞)当且仅当M是Gorenstein内射模.

引理2.2[2]设R为左凝聚环,n≥0,则()是余挠理论,而且每个左R-模都有一个特殊预包络,每个左R-模都有一个特殊预覆盖.

命题2.3设R为左凝聚环且对某个整数n≥0有FP-fd(RR)≤n,则下列陈述等价：

(1)M是n-FP-内射模;

(6)存在内射分解E=0→M→E0→E1→………,使得对所有的左R-模N(FP-fd(N)≤n),Hom(N,)是正合的.

证明(1)⇒(2)由长正和列定理得:

即得.

(1)⇒(3)显然.

(3)⇒(4)设0→M→E→F→0为正合列,其中E为内射的,由FP-fd(RR)≤n,所以FP-fd(E)≤n,因此E→F是预覆盖.

(4)⇒(1)由(4),存在正合列：0→M→E→F→0,其中E→F是一个预覆盖(E为内射的).对每个N∈,存在正合列:Hom(N,E)→Hom(N,F)→Ext1(N,M)→0,由(4)Hom(N,E)→Hom(N,F)→0是正合的,因此Ext1(N,M)=0,即M是n-FP-内射模.

(1)⇒(5)设0→M→E0→E1→………为M的一个内射分解,由假设FP-fd(Ei)≤n (i=0,1,2,………),设N是任意的左R-模(FP-fd(N)≤n),既然M是n-FP-内射模,由引理2.3,对任意的j≥1,Extj(N,M)=0,因此序列

是正合的.另一方面,构造正合列………→E1→E0→M→0.由引理2.2知：E0→M, Im(E2→E1)→E0,Im(En+1→En)→En−1是-预覆盖,因此有正合列:

(5)⇒(6)显然可得.

(6)⇒(1)存在M的一个内射分解0→M→E0→E1→………,对所有的左R-模N(FP-fd(N)≤n),Hom(N,E0)→Hom(N,E1)→Hom(N,E2)是正合的,结合长正合列定理即得.

定理2.1设R为左凝聚环,n为非负数,则下列等价:

(1)l.FP-dim(R)≤n;

(2)wD(R)≤n;

(3)每个n-FP-内射模都是内射的;

(4)对每个0-FP-内射左R-模有id(M)≤n;

(5)对每个n-FP-内射左R-模有FP-fd(M)≤n;

(7)每个(n−1)-FP-内射模M有id(M)≤1.

证明由文献[8]可得(1)⇔(2)⇐(4).(1)⇒(3)和(1)⇒(6)是平凡的.

(3)⇒(1)对每个左R-模,l.FP-dim(R)≤n等价于FP-fd(M)≤n,用引理2.2可得.

(5)⇒(1)设M为左R-模,由引理2.2,M有个特殊的预包络,因此存在短正合列:0→M→N→K→0,N是n-FP-内射的,由(5)知FP-fd(N)≤n,FP-fd(M)≤n,可得(1).

(1)⇒(4)设M为0-FP-内射左R-模,则M有一个内射分解:

设N为任意的左R-模,FP-fd(N)≤n,(对偶与文献[8])存在正合列:

其中P0,P1,………,Pn是FP-投射的,因此可构造下面的双复形:

除了最下面一行外,所有的行均为正合的(M是0-FP-内射的,Pi是FP-投射的).除了左边一列外,所有的列均正合的(Ei均为内射的).因此下面两复形

和

是同构同调群,而且对j≥1有Extn+j(N,M)=0,所以id(M)≤n.

(1)⇒(7)设M是(n−1)-FP-内射左R-模,N为任意左R-模,既然FP-fd(N)≤n,由命题2.3知Ext2(N,M)=0,所以id(M)≤1.

众所周知,左凝聚环R是半遗传的当且仅当wD(R)≤1,有如下结果.

推论2.2设R是左凝聚环,下列条件等价:

(1)R是左半遗传环;

(2)每个1-FP-内射左R-模是内射模;

(3)每个0-FP-内射R-模的内射维数小于等于1;

(4)每个1-FP-内射R-模的FP-投射维数小于等于1.

致谢作者真诚地感谢评审专家仔细的阅读和详细的修改.

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Relative n-FP-injective modules

Zhang Qi1,Zhu Huihui2
(1.School of mathematics and computer science,Tongling University,Tongling244000,China; 2.Department of Mathematics,Southeast University,Nanjing210096,China)

Let R be an associative ring.A left R-module M is called n-FP-injective if Ext1(N,M)=0 for any left R-module N whose FP-projective dimension≤n.As applications,some equivalences of n-FP-injective modules are given.

cotorsion theory,FP-projective dimension,n-FP-injective modules,(pre)cover

O153.3

A

1008-5513(2014)03-0286-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.010

2013-10-30.

江苏省研究生创新基金(CXLX13-072).

张齐(1983-),硕士,研究方向：代数学.

2010 MSC:16E05,16E10