伪补MS-代数的滤子同余关系

赵秀兰,马红娟

(黄河科技学院数理部,河南郑州450063)

伪补MS-代数的滤子同余关系

赵秀兰,马红娟

(黄河科技学院数理部,河南郑州450063)

在伪补MS-代数上引入余核滤子和完全滤子的概念,研究伪补MS-代数的余核滤子和完全滤子的性质,获得了余核滤子和完全滤子生成的同余关系的表达式,证明了具有余核滤子的最小同余关系有同余一致性.

伪补代数;MS-代数;余核滤子;完全滤子;同余关系

1 引言及预备知识

一个伪补代数(简称p-代数)是一个代数(L;∨,∧,∗,0),它具有一个最小元0及一个映射∗:L→L使得

有关p-代数的基本性质请参看文献[1-3].文献[4]在de Morgan代数和Stone代数的基础上引入一类重要的代数MS-代数,所谓MS-代数是指一个有界分配格被赋予一个一元运算x→x◦使得

文献[5]从p-代数与MS-代数中抽象出一类新的代数,称为伪补MS-代数(简称pMS-代数).所谓pMS-代数(L;∨,∧,∗,◦,0,1),是指一个有界分配格,其上赋予两个一元运算∗和◦,其中(L;∗)是p-代数,(L;◦)是MS-代数,且一元运算∗和◦满足条件(∀x∈L)x∗◦=x◦∗.文献[5]主要研究了pMS-代数的运算属性,同余关系及其次直不可约代数.文献[6-7]分别讨论了伪补分配格的同余理想与同余关系以及MS-代数的理想和同余关系.文献[8]刻画了拟补Ockham代数上的理想与滤子.2007年,文献[9]进一步刻画了平衡拟补Ockham代数的理想格.对于平衡半拟补Ockham代数的滤子格,文献[10]研究了这类代数的余核滤子和稠密滤子的特征,并刻画这些滤子的某些同余一致与同余凝聚性质.2012年文献[11]就双重伪补代数的假值理想和假值同余给出了特征表示.文献[12]研究了双重伪补Ockham代数上的理想与滤子的性质,证明了双重伪补Ockham代数的核理想格与其余核滤子格同构.在此研究工作的基础上,在这篇文章中,主要讨论pMS-代数的余核滤子和完全滤子的性质与特征,并刻画余核滤子和完全滤子所生成的同余关系的特征,以及滤子的同余一致性质.

便于阐述,沿用文献[1-5]中的术语.假定L是pMS-代数,F是L的子集.如果对a∈F,则x≥a蕴涵x∈F,称F是L的滤子.设θ是L的一个格同余,且对任意的a,b∈L, (a,b)∈θ蕴涵(a∗,b∗)∈θ及(a◦,b◦)∈θ,则称θ是L的一个pMS-同余.对于L的滤子F,若存在L的一个同余关系φ使得

称滤子F为L的余核滤子.

设a,b是L中的元素,又F是L的一个子集.用符号θ(a,b)和θlat(a,b)分别表示包含a,b的最小同余与最小格同余(即由a,b所生成的主同余和格主同余);用θ(F)和θlat(F)分别表示包含F的最小同余与最小格同余(即由F所生成的主同余和格主同余);用Con L表示L的所有同余所组成的同余格.

2 余核滤子的同余性质

现给出pMS-代数余核滤子的判别定理.

定理2.1设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,F是L的滤子,则F是L的余核滤子当且仅当(∀a∈L)a∈F=⇒a∗◦∈F.

证明设F是L的一个余核滤子,则存在φ∈Con L,使得F=Coker φ.对于a∈F,有a≡1(φ),所以a∗◦≡1(φ),于是由余核滤子的定义知a∗◦∈F.

⇐:设任意的a∈L,a∈F蕴涵a∗◦∈F.定义L上的一个等价关系RF如下:

易见,RF是一个格同余.

下证RF∈Con L.设(x,y)∈RF,则存在i∈F使得x∧i=y∧i.从而有x∗∨i∗=y∗∨i∗,于是得

由文献[2]知,i∗∧i∗∗=0,故x∗∧i∗∗=y∗∧i∗∗.又因为i∗∗≥i∈F,所以i∗∗∈F.因此(x∗,y∗)∈RF.另一方面,有x∧i=y∧i可得x◦∨i◦=y◦∨i◦.从而有

又由文献[5]知i◦=i◦∗∗,所以

又由题设知i∗◦∈F,因此(x◦,y◦)∈RF.所以RF∈Con L.

现证Coker RF=F.若x∈Coker RF,则存在i∈F使得x∧i=i,所以x≥i,故x∈F.所以Coker RF⊆F.另外,设i∈F,由i∧i=1∧i=i得(i,1)∈RF,故i∈Coker RF,所以F⊆Coker RF.从而得到F=Coker RF.

沿用定理2.1中的符号RF,现证明下面的结果.

推论2.1RF是具有余核滤子F的最小同余关系.

证明由定理2.1的证明知,RF是一个具有余核滤子F的同余关系.现设φ∈Con L且具有余核滤子F,即F=Coker φ.对于任意的i∈F有i≡1(φ).若(x,y)∈RF,则存在i∈F,使得x∧i=y∧i.于是x≡x∧i(φ),y≡y∧i(φ),从而(x,y)∈φ,所以RF≤φ.

设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,记F(L),CF(L)分别为L的所有滤子与所有余核滤子所构成的集合,它们有下面的关系定理.

定理2.2设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,则CF(L)是F(L)的一个子格.

证明设F1,F2∈CF(L),由文献[3]及定理2.1易得F1∧F2∈CF(L).

下证F1∨F2∈CF(L).令x∈F1∨F2,由文献[3]知则存在i∈F1和j∈F2使得x≥i∧j,从而由文献[5]得x∗∗≥i∗∗∧j∗∗和x∗◦≥i∗◦∧j∗◦.又由F1,F2∈CF(L),根据定理2.1知i∗◦∈F1,j∗∗,j∗◦∈F2,所以x∗◦∈F1∨F2,故由定理2.1得F1∨F2∈CF(L).因而CF(L)是F(L)的子格.

定理2.3设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数.令

其中RF如定理2.1中所定义,则C∗(CF(L))是Con L的子格.

证明易得R{1}=ω(相等关系)及RL=ι(泛同余关系).

先证对任意的F1,F2∈CF(L),有由定理2.2知F1∧F2∈CF(L).设(x,y)∈RF1∧RF2,由文献[3]知且因此存在i∈F1,j∈F2使得

则存在i1,i2,………,it∈F1及j1,j2,………,js∈F2使得

令i=i1∧i2∧………∧it∧j1∧j2∧………∧js,显然有i∈F1∨F2.因此x∧i=x1∧i=………=y∧i,即有所以故定理得证.

现设F是L的余核滤子,定义Fo={x∈L|(∃a∈F)x≤a◦}.显然,Fo是L的理想,有如下的结论:

定理2.4设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,又设F是L的余核滤子,则

证明设a,b∈F且a≤b,显然a◦,b◦∈Fo.由文献[5]知a∗=a∗◦◦,b∗=b◦◦∗,又由定理2.1知a∗◦,b∗◦∈F,从而有a∗∈Fo,b∗∈Fo,所以得θlat(a,b)≤θlat(F),θlat(b◦,a◦)≤θlat(Fo), θlat(b∗,a∗)≤θlat(Fo).由文献[5]知若L∈pMS,a,b∈L且a≤b,有

所以,θ(a,b)≤θlat(F)∨θlat(Fo).又由文献[3]知,θ(F)=∨{θ(a,b)|a,b∈F},于是可推知θ(F)≤θlat(F)∨θlat(Fo).

另一方面,假设a,b∈Fo,a≤b,由Fo的定义知,存在c∈F使得a≤b≤c◦.由于(c,1)∈θ(F),因此(c◦,0)∈θ(F∨).又因(a,a),(b,b)∈θ(F),故(a,0),(b,0)∈θ(F),从而得(a,b)∈θ(F).结合事实θ(Fo)={θ(a,b)|a,b∈Fo},因此有

命题得证.

进一步地,用另一种形式刻划θ(F).

定理2.5设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,又设F是L的余核滤子,则

证明在L上定义一个等价关系φ如下:

易见,φ是一个格同余.

先证φ∈Con L.设(x,y)∈φ,则存在a,b∈F使得

这样可得(x◦∨a◦)∧b◦◦=(y◦∨a◦)∧b◦◦,于是有

因为a◦∧b◦◦≤a◦,故得(x◦∧b◦◦)∨a◦=(y◦∧b◦◦)∨a◦.由文献[5]知a◦=a◦∗∗=(a∗∗)◦,故(x◦∧b◦◦)∨(a∗∗)◦=(y◦∧b◦◦)∨(a∗∗)◦,而且有a∗∗≥a∈F,b◦◦≥b∈F.因此a∗∗,b◦◦∈F,所以(x◦,y◦)∈φ.

另一方面,由(⋆⋆)得

由定理2.1知,b◦∗∈F且结合文献[5]有a∗=a∗◦◦,于是得到

注意到a∗◦∨b∗≥a∗◦∈F,则a∗◦∨b∗∈F.再结合φ的定义可得(x∗,y∗)∈φ,所以φ∈Con L.

现证φ=θ(F).为此设(x,y)∈φ,则存在a,b∈F使得(x∧a)∨b◦=(y∧a)∨b◦.因为(a,1)∈θlat(F),(b◦,0)∈θlat(Fo),所以

所以

同理可得,((y∧a)∨b◦,y)∈θlat(F)∨θlat(Fo).

所以可得,(x,y)∈θlat(F)∨θlat(Fo),即φ≤θlat(F)∨θlat(Fo).结合定理2.4有φ≤θ(F).另一方面,设(x,y)∈θ(F)=θlat(F)∨θlat(Fo),则存在x=x0,x1,………,xn−1=y且

不失一般性,设

则存在i1,i2,………,it∈F和j1,j2,………,js∈F,使得

因此,(x,y)∈φ.故θ(F)≤φ.

综上可得θ(F)=φ.定理得证.

定理2.6设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,φ∈Con L,则Coker φ是L的余核滤子且

证明设x∈Coker φ,即x≡1(φ).对于任意的y≥x,有y≡y(φ),故y∨x≡y∨1(φ),于是有y≡1(φ),故y∈Coker φ,所以Coker φ为L的滤子.又因若x≡1(φ),则有x∗◦≡1(φ),所以x∗◦∈Coker φ.由定理2.1知Coker φ为L的余核滤子.

欲证θ(Coker φ)=θlat(Coker φ)∨θlat(ker φ),由定理2.4知只需证(Coker φ)o=ker φ.

设x∈(Coker φ)o,则存在a∈Coker φ,使得x≤a◦.由于a≡1(φ),则a◦≡0(φ),因而x=x∧a◦≡x∧0=0(φ),于是得x∈ker φ,所以(Coker φ)o≤ker φ.

另一方面,设x∈ker φ,则x◦∈Coker φ.由文献[4]MS代数运算特征知x≤x◦◦=(x◦)◦,从而得x∈(Coker φ)o,故ker φ≤(Coker φ)o.定理得证.

已知,关系Φ是pMS-代数的一个基本同余关系[5].它由所给出,可得如下性质.

推论2.2θ(Coker Φ)=θlat(Coker Φ).

证明由定理2.4和定理2.6得只需证(Coker φ)o=ker φ=0.

设x∈(Coker φ)o,则存在a∈Coker φ使得x≤a◦.又因(a,1)∈Φ,即a◦=0,故有x=0.即证.

3 完全滤子

设L是一个pMS-代数,F是L的任一余核滤子.对于任意的x∈F,有

由定理2.5得x∈Coker θ(F),即F⊆Coker θ(F).但是下面举例说明.

设(L;∨,∧,∗,◦)∈pMS,如下图所示:

令F={a,b,1},由定理2.1知F是L的余核滤子,并且θ(F)=θ(a,b)∨θ(a,1)∨θ(b,1),易见a,b∈Coker θ(F).再由定理2.5知,0∈Coker θ(F).故Coker θ(F)=L/=F.

若Coker θ(F)=F,给出如下定义.

定义3.1设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,F是L的余核滤子,若F=Coker θ(F),则称F是L的完全滤子.

下面给出完全滤子的判别定理.

定理3.1设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,F是L的余核滤子,若F是L的完全滤子当且仅当

证明⇒:设x∈F,因为F=Coker θ(F),则有(x,1)∈θ(F).由定理2.5知存在a,b∈F使得(x∧a)∨b◦=(1∧a)∨b◦,于是可得(x∨b◦)∧(a∨b◦)=a∨b◦.又因a∨b◦≥a∈F,所以a∨b◦∈F.命题得证.

⇐:若x∈F⇔(∃a,b∈F)(x∨b◦)∧a=a,下证F=Coker θ(F).因为(a,1)∈θ(F), (b◦,1)∈θ(F),(x,x)∈θ(F),所以(x∨b◦,x)∈θ(F),而(x∨b◦)∧a=a,故(a,x)∈θ(F),从而(x,1)∈θ(F),即x∈Coker θ(F).另一方面,设x∈Coker θ(F),即(x,1)∈θ(F).由定理2.5知存在a,b∈F,使得又因a∨b◦∈F,所以x∈F.定理得证.

定理3.2设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,F1,F2是L的完全滤子,则F1⊂F2当且仅当θ(F1)⊂θ(F2).

证明⇒:由题设知至少存在一个元素a∈L且a∈F2F1,于是(a,1)∈θ(F2),则必有(a,1)/∈θ(F1).否则有a∈Coker θ(F1),相应地a∈F1,此与a/∈F1相矛盾,因此θ(F1)/=θ(F2).又由F1⊂F2,易得θ(F1)⊆θ(F2).所以有θ(F1)⊂θ(F2).

⇐:对于任意的a∈F1,都有(a,1)∈θ(F1).因为θ(F1)⊂θ(F2),所以(a,1)∈θ(F2),于是a∈Coker θ(F2),即a∈F2,从而F1⊆F2.若F1=F2,则θ(F1)=θ(F2),这与θ(F1)⊂θ(F2)相矛盾,故F1⊂F2.定理得证.

4 同余一致性质

设θ是pMS-代数的一个同余,若对任意的a,b∈L,有

其中[a]θ|={x∈L|(x,a)∈θ},|[a]θ|表示[a]θ的基数,则称θ是同余一致的.下面文中的RF均是由定理2.1证明中所定义的同余,其中F是L的余核滤子.由推论2.1知,RF是包含F的最小同余.有下面的结果.

定理4.1设(L;∨,∧,∗,◦,0,1)是一个pMS-代数,F是L的余核滤子,则RF是同余一致的,且对任意的a∈L有|[a]RF|=|F|.

证明设F是L的余核滤子,a,b∈L,不失一般性,不妨假设a≥b.现证为此设

易知fa是格同态.现证fa也是满格同态.为此设则存在i1∈F,使得b∧i1=s∧i1.又因故存在j1∈F,使得s∧j1=b1∧j1.令x=s∨(a∧j1),有

由于i1∧j1∈F,故又因s≤b1,故

即fa(x)=s.所以fa是满射.于是有

[1]Blyth T S,Varlet J C.Ockham Algebras[M].Oxford:Oxford University Press,1994.

[2]Blyth T S,Fang Jie,Varlet J C.Ockham algebras with pseudocomplementation[J].Communications in Algebra,1997,25:3605-3615.

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[5]Fang Jie.Pseudocomplementde MS-algebras[J].Algebra Colloq.,1996,3(1):59-65.

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[11]王雷波,方捷.双重伪补代数的假值理想的一点注记[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(1):119-122.

[12]赵秀兰,孙中举.双重伪补Ockham代数的理想与滤子[J].模糊系统与数学,2012,26(3):70-76.

Filters congruences of pseudocomplemented MS-algebras

Zhao Xiulan,Ma Hongjuan
(Department of Mathematics and Physics,Huang He Science and Technology College, Zhengzhou450063,China)

The concepts of cokernel filter and full filter on a pseudocomplemented MS-algebra are introduced. By discussing the properties of the cokernel fi lters and full fi lters,the expressions of the cokernel filter congruences and full fi lters congruences on a pseudocomplemented MS-algebra are got.We prove that the smallest congruence with the cokernel filter has the congruence uniformity.

pseudocomplemented Ockham algebra,MS-algebra,cokernel filter,full filter,congruence

O153

A

1008-5513(2014)03-0255-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.006

2014-02-05.

河南省教育厅科学技术研究重点项目（12B110017).

赵秀兰(1982-),硕士,讲师,研究方向:格论与有序代数.

2010 MSC:06D15