关于不定方程组x±1=6pqu2,x2∓x+1=3υ2的整数解

杜先存， 孙映成， 万 飞

(1.红河学院 教师教育学院 云南 蒙自 661199；2.盐城师范学院 数学科学学院 江苏 盐城 224002)

关于不定方程组x±1=6pqu2,x2∓x+1=3υ2的整数解

杜先存1， 孙映成2， 万 飞1

(1.红河学院 教师教育学院 云南 蒙自 661199；2.盐城师范学院 数学科学学院 江苏 盐城 224002)

设p,q是互异的奇素数，p≡q≡1(mod 6)，利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等方法证明了不定方程组x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2仅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)；而不定方程组x+1=6pqu2,x2-x+1=3v2仅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1)．

不定方程； Pell方程； 奇素数； 整数解； 递归序列

0 引言

关于三次不定方程

x3±1=2Dy2(D>0，且D无平方因子)

(1)

的整数解的问题一直是数论研究者关注的问题．文献[1-5]给出了一些结果．

由于x3±1=(x±1)(x2∓x+1)，因此在研究方程(1)的整数解时，方程组

x±1=6Du2;x2∓x+1=3v2

(2)

就起着重要的作用．然而关于不定方程组(2)的整数解的情况，目前仅就D为素数时，有一些结论:文献[6]得出了方程组x+1=6Du2,x2-x+1=3v2无正整数解；文献[7]得出了x-1=6Du2,x2+x+1=3v2仅有整数解(D,x,u,v)=(D,1,0,±1),(13,313,±2,±181)．

本文将利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序，得出当D含两个互异的6k+1型素因子时方程组(2)的解的情况．

1 主要引理

引理1[8]设p是一个奇素数，则丢番图方程4x4-py2=1除开p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外，无其他的正整数解．

引理2[8]方程x2-3y4=1仅有整数解(x,y)=(±2,±1)，(±7,±2)，(±1,0)．

2 主要定理及证明

定理1 设p,q为互异的奇素数，p≡q≡1(mod 6)，则不定方程组

x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2，gcd(u,v)=1

(3)

只有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)．

证明 1)先证存在性

将式(3)的x=1+6pqu2代入x2+x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(4pqu2+1)2=1.

(4)

因此,4pqu2+1=±yn(n∈Z)，即4pqu2=±yn-1．又y-n=-yn，所以只需考虑

4pqu2=yn-1．

(5)

由式(5)，得yn≡1(mod 4)．

容易验证下列各式成立：

yn+2=4yn+1-yn;y0=0;y1=1，

(6)

xn+1=2xn+3yn;yn+1=xn+2yn，

(7)

(8)

x2n+1≡2(mod 4);x2n≢0(mod 2)，

(9)

y2n≡0(mod 4);y2n+1≢0(mod 2)，

(10)

xn+2=4xn+1-xn;x0=1;x1=2，

(11)

xn-1=2xn-3yn;yn-1=-xn+2yn.

(12)

对递归序列(6)取模4，得周期为4的剩余类序列，且仅当n≡1(mod 4)时，有yn≡1(mod 4)，所以只有当n≡1(mod 4)时式(5)才成立．

当n≡1(mod 4)时，不妨令n=4m+1(m∈Z)，则由式(5)、(7)和(8)得

即2pqu2=x2m+1y2m．

由式(7)得，gcd(x2m+1,y2m)=gcd(2x2m+3y2m,y2m)=gcd(2x2m,y2m)=gcd(2,y2m)=2．又由式(9)、(10)得，x2m+1≡2(mod 4)，y2m≡0(mod 4)，所以下列情形之一成立：

x2m+1=2a2;y2m=4pqb2;u=2ab;gcd(a,b)=1,

(13)

x2m+1=2pqa2;y2m=4b2;u=2ab;gcd(a,b)=1,

(14)

x2m+1=2qa2;y2m=4pb2;u=2ab;gcd(a,b)=1,

(15)

x2m+1=2pa2;y2m=4qb2;u=2ab;gcd(a,b)=1．

(16)

2)再证唯一性

由式(15)的y2m=4pb2得xmym=2pb2，又由式(10)知ym≢2(mod 4)，而gcd(xm,ym)=1，所以下列情形之一成立：

xm=2c2;ym=pd2;b=cd;gcd(c,d)=1,

(17)

xm=2pc2;ym=d2;b=cd;gcd(c,d)=1．

(18)

由式(16)的y2m=4qb2，仿式(15)的讨论知，该情形方程组(3)无整数解．

综上1)和2)可知，定理1成立．

定理2 设p,q为互异的奇素数，p≡q≡1(mod 6)，则不定方程组

x+1=6pqu2;x2-x+1=3v2;gcd(u,v)=1

(19)

仅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).

事实上，将x=6pqu2-1代入x2-x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(4pqu2-1)2=1，

(20)

仿照定理1的证明可知式(20)的一切整数解可表示为

为此也只需考虑

4pqu2=yn+1.

(21)

由式(21)，得yn≡-1(mod 4)．

对递归序列(6)取模4，得周期为4的剩余类序列，且仅当n≡-1(mod 4)时，有yn≡-1(mod 4)，所以只有当n≡-1(mod 4)时式(21)才成立．

当n≡-1(mod 4)，令n=4m-1(m∈Z)，则由(8)、(12)和(21)得

即

2pqu2=x2m-1y2m.

(22)

由式(6)知仅当m=0时，y2m=0．又由式(11)知对于任意整数m，均有x2m-1≠0，所以仅当m=0时，x2m-1y2m=0．

(i)m=0时，由式(22)得，u=0，此时得出方程组(19)的平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1)．

(ii)m≠0时，仿定理1的证明可知不定方程组(19)无整数解．

综上，定理成立．

对于方程组(2)的整数解的情况，本文仅仅给出了D含两个互异的6k+1形素因子时的解的情况，对于D含3个及以上互异的6k+1形素因子时方程组(2)的解的情况还有待于进一步研究．

[1] 柯召,孙琦．关于丢番图方程x3±1=Dy2[J]．中国科学，1981，24(12)：1453-1457．

[2] 黄寿生.关于指数Diophantine方程x3-1=2py2[J].数学研究与评论,2007,27(3)： 664-666．

[3] 管训贵．关于 Diophantine方程x3±1=2py2[J]．云南民族大学学报：自然科学版， 2012，21(6)：438 -441．

[4] 张海燕,王连芳．关于丢番图方程x3±1=2Dy2[J]．哈尔滨理工大学学报：自然科学版， 1997，2(6)：85 -87．

[5] 杜先存,赵东晋,赵金娥．关于不定方程x3±1=2py2[J]．曲阜师范大学学报：自然科学版，2013，39(1)：42-43．

[6] 田晓霞．关于不定方程组x+1=6py2，x2-x+1=3z2[J]．四川理工学院学报，2009，22(1)：30-31．

[7] 牟全武．对文“关于指数Diophantine方程x3-1=2py2”的注记[J]．西安文理学院学报：自然科学版，2008， 11(4)：43 -45．

[8] 曹珍富．丢番图方程引论[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,1989．

On the System of Indefinite Equationsx±1=6pqu2andx2∓x+1=3υ2

DU Xian-cun1， SUN Ying-cheng2, WAN Fei1

(1.CollegeofTeacherEducation,HongheUniversity,Mengzi661199,China；2.CollegeofMathematicsScience,YanchengTeachersUniversity,Yancheng224002,China)

Letp,qbe different odd primes,p≡q≡1 (mod 6). With the help of recursive sequence, some properties of the solutions to Pell equation and Maple formality, the only integer solution in integers of the indefinite equationsx-1=6pqu2,x2+x+1=3v2wasx=1,u=0,v=±1, and the only integer solution of the indefinite equationsx+1=6pqu2,x2-x+1=3v2wasx=-1,u=0,v=±1.

indefinite equation; Pell equation; odd prime; integer solution; recursive sequence

2013-11-06

国家自然科学基金资助项目，编号11371291；江苏省教育科学“十二五”规划课题项目，编号D201301083.

杜先存(1981-),女,讲师,硕士,主要从事初等数论研究,E-mail:liye686868@163.com.

O 156

A

1671-6841(2014)01-0025-03

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.006