具有小周期震荡参数时间分数阶扩散方程的二阶双尺度有限元算法

王自强，曹俊英

(贵州民族大学理学院，贵州贵阳 550025)

1 二阶双尺度渐近展开式的构造及逼近性分析

考虑问题:

类似于文献［1，7－8］，假设(1)的解具有下面的多尺度渐近展开式:

这里:

iii)均匀化方程为:

iv)局部函数Nij(y)属于V且满足:

利用文献［1］中处理热传导方程二阶双尺度渐近展开式的收敛性分析方法和文献［6］分析时间分数阶方程解始定性的技巧，可以证明下面的结果:

2 基于二阶双尺度渐近展开式的有限元算法及数值算例

类似于文献［7］，建立问题(1)的二阶双尺度有限元算法如下:

3)在参考单胞Y上利用与(ii)相同的有限元网格求解方程(7)得到二阶的局部函数(y)的近似值.

为了验证本文提出算法的有效性，下面对问题(1)进行二阶双尺度近似解的计算.取f=10，α=0.6，ε=0.1，T=1，Ω=［0，1］2和 Y=［0，1］2.进一步，设方程(1)的系数为在 Y1中 aij(y)= δij和在 Y1中 aij(y)=0.01δij.在图3～6中分别给出了uε的细网格有限元解，均匀化解u，一阶双尺度近似解u(1)和二阶双尺度近似解u(2).

图1 宏观区域ΩFig.1 The macro domain Ω

图2 参考单胞YFig.2 The reference cell Y

图3 uε的细网格有限元解Fig.3 The FEM solution of uεin refined mesh

图4 均匀化解uFig.4 Homogenization solution u

图5一阶近似解u(1)Fig.5 FOTS’s solution u(1)

图6 二阶近似解u(2)Fig.6 SOTS’s solution u(2)

通过图3～6可知:均匀化解u仅仅可以反映出uε变化的宏观特征，一阶双尺度近似解u(1)可以反映出uε的部分特征，二阶双尺度近似解u(2)是比一阶双尺度近似解u(1)对uε的一个更好的近似.

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