空间分数阶扩散方程的有限元方法

曹俊英，王自强

(贵州民族大学理学院，贵州贵阳 550025)

分数阶扩散方程是由传统的扩散方程［1］演化而来，将传统的扩散方程中的空间二阶导数项∂∂x22用 α(1＜α＜2)阶导数aDαxu(x)替代.2004年，Fix和Roop［2］采用最小二乘有限元法对两点边值问题进行数值近似.2007年Ervin和Roop［3］提出用Galerkin有限元法求空间分数阶对流扩散方程的弱解.2008年Huang等［4］针对对流－弥散方程用Caputo导数发展了一个无条件稳定的有限元方法.2010年Zheng等［5］给出了有限元求解空间分数阶非齐次对流扩散方程的误差估计.2011年Chen等［6］用edge－based光滑的有限元方法(ES－FEM)推广到了各向异性介质的分数阶问题.本文利用有限元的思想构造了一个半离散数值格式，并严格证明格式的收敛性分析，数值例子验证了理论分析的结果.

1 问题和弱形式

设Ω=［A，B］，I=［0，T］分别为空间区域和时间区域，记¤T:=Ω×I.考虑如下一维的空间分数阶扩散方程:

这里α∈(1，2)是空间分数阶导数的阶数.式(1)中的aDαxu(x)采用Caputo导数，定义为:

式(1)的弱形式为:

引理1双线性形式a(·，·)在空间(Ω)上式连续的、强制的，亦即:存在常数 γ＞0，β＞0，

2 半离散有限元逼近的收敛性分析

设Vh是(Ω)的一族子空间且满足:对于整数r≥2和充分小的h，

将对半离散解和精确解之间的L2－模误差估计给出证明.

定理1设uh和u分别是方程(4)和方程(2)的解，则:

证明令:uh－u=θ+ρ，其中 θ=uh－Rhu，ρ=Rhu－u.

上式第二项ρ由引理2容易估计，且有:

为了估计θ，注意到:

上述推导过程中，利用了Rh的定义和Rh与时间微分可交换性.由于θ属于Vh，在式(7)中选取v=θ，可得:

由于第二项是非负的，故得:

另一方面，对上式右端项进行下面估计:

综合上述的估计式，定理1得证.

3 数值例子

考虑具有精确解为:u(x，t)=x2(x－1)2sint的方程(1)，相应的右端项为:

对格式(2)的时间方向用向前欧拉方法进行离散，即得全离散格式.再取式(6)中的r=2，即在空间上用线性元进行离散.可知格式(2)在空间方向上式2阶.对此全离散格式进行做一系列的数值试验，以验证理论分析的正确性.

为了观测数值解对精确解的逼近度，计算在范数L2下的误差‖uNh－u(T)‖，表1的数值结果都是在T=1时得到的.研究空间收敛阶，为此，取时间步长足够小使得其产生的误差不影响空间精度.在表1中，列出了α和h取一系列不同值时得到的L2－误差，并列出了相应的阶数.从表1中看到，当1＜α＜2时，空间精度是二阶.这与理论分析相符合.

表1 α=1.2，α=1.5，α=1.8，L2－误差和收敛阶Tab.1 L2－errors and decay rates with α=1.2，α=1.5，α=1.8

［1］曹俊英，尹文双，张大凯.解抛物型方程的七点隐格式［J］.湖北民族学院学报:自然科学版，2009，27(1):34－36.

［2］Fix G，Roof J.Least squares finite－element solution of a fractional order two－point boundary value problem［J］.Comput Math Appl，2004，48(7/8):1017－1033.

［3］Ervin V，Heuer N，Roop J.Numerical approximation of a time dependent，nonlinear，space－fractional diffusion equation［J］.SIAM J Numer Anal，2007，45(2):572－591.

［4］Huang Q，Huang G，Zhan H.A finite element solution for the fractional advection－dispersion equation［J］.Adv Water Resour，2008，31(12):1578－1589.

［5］Zheng Y，Li C，Zhao Z.A note on the finite element method for the space－fractional advection diffusion equation［J］.Comput Math Appl，2010，59(5):1718－1726.

［6］Chen L，Liu G，Jiang Y，et al.A singular edge－based smoothed finite element method(ES－FEM)for crack analyses in anisotropic media［J］.Engineering Fracture Mechanics，2011，78(1):85－109.

［7］曹俊英.分数阶微分方程的高阶数值方法研究［D］.厦门:厦门大学，2012.