三角代换在第二类换元积分法中的应用

【摘要】第二类换元积分法在《高等数学》教学中是重点，亦是难点，本文想通过两种解题方式的介绍，使同学们拓展思路，更简单的利用三角代换解决问题。

【关键词】三角代换第二类换元积分应用两种方法

【中图分类号】O172.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0139-02

“三角代换”是数学解题中的一种常用技巧，这种技巧在解决一些运算复杂、解题思路疑难的问题时常常能起到事半功倍、豁然开朗的效果。在不定积分一章的教学中，当被积式中含有根式■，■，■时，我们通常的做法是进行三角代换，以此达到将无理式化为有理三角函数的目的，然后积分。

在第二类换元积分法中，若f（x）是连续函数，x=φ（t）有连续的导数φ'（t），且φ'（t）≠0。又设■f[φ（t）]φ'（t）dt=F（t）+c则有换元公式■f（x）dx=■f[φ（t）]φ'（t）dt=F[φ-1（x）]+c。

当被积函数f（x）是含有■，■，■的类型时，积分的困难在于含有无理式。通常《高等数学》教材上是：若含有■，设x=asint；含有■,设x=atant;含有■，设x=asect。目的在于通过三角代换，去掉根式。积分后所得的原函数是以变量为t的原函数，最后再进行变量回代。在所设的三角代换中将变量t还原成原积分变量x。

还有一种方法，只要从直角三角形的勾股定理出发，直接将根式看成直角三角形的某个边，则被积分式就可看成某些边的比，从而也达到把无理式化为有理三角函数的目的，现就两种方法举例说明。

例1：求■■dx（a>0）

方法1：作变量代换x=asint（0＜t＜■），则dx=acostdt

■■dx=■■·acosdx=■a2cos2tdt=a2■■dt=■■dt-■■cos2td（2t）=■t-■sin2t+c=■-■sintcost+c

因为x=asint，则sint=■，则t=arcsin■。

为了从sint=■，直接求出cost，作直角三角形，如图1

这时直接求出cost=■，

代入上面的结果得：

■■dx=■（arcsin■-■·■）+c=■arcsin■-■x■+c

方法2：设图1为直角三角形，sint=■，x=asint，则dx=acostdt。

所以■■dx=a■■dx=a■■dx=a■cost·a·costdt=a■2■■dt=■-■sintcost+c=■arcsin■-■·■·■+c=■arcsin■-■x·■+c。

例2：求■■

方法1：作三角变换x=asect，则dx=atantsectdt，于是，x2-a■2=a■2 sec2t-a■2=a■2（sec2t-1）=a2tan2t

因此■■=■■=■■■dt=■■■=-■·■+c

根据x=asect，作直角三角形，如图2

sint=■所以，原式=-■+c

方法2：设图2为直角三角形，则

sect=■，故x=asect，dx=asecttantdt

所以■■=■■■dx=■■■dx=■■cot3t·asecttantdt=■■·■·■dt=■■■dt=■■■=-■·■+c=■+c

例3：■■（a>0）

方法1：作三角代换x=atant，则dx=asec2tdt

于是■=■=■=asect

因此原式=■■dt=■sectdt=lnsect+tant+c1

根据，tant=■作直角三角形如图3

则sect=■tant=■

因此 ■■=ln■+c1=ln■+x+c

方法2：作图3,设tant=■，x=atant，dx=asec2tdt

■■=■■■dx=■■■dx=■■cost·asec2tdt=■cost■=■■=lnsect+tant+c1=ln■+x+c 注意：对某些有理式也可采用三角代换。

例4：求■■dx

方法1：作三角代换， x=tant ，dx=sec2tdt

■■dx=■■dt=■sintcostdt=-■cos2t+c

根据x=tant，作直角三角形如图4

所以原式=-■+c

方法2：作图4,设 x=tant， dx=sec2tdt

■■dx=■■dt=■■·■dx=■sintcos3t·sec2tdt=■sintcostdt=-■costd（cost）=-■cos2t+c=-■+c

方法3：該题也可用第一类换元积分法

■■dx=■■■=-■+c

通过上面几个例子可以看出，三角代换在第二类换元积分法中的应用还是比较多的。在多年教学中，学生用三角代换解题时，通常对同角三角函数之间的关系感到困难，认为公式多，运算繁。后来两种方法同时讲授，有些同学对勾股定理及三角函数边与边之间的比较为熟悉，反而认为第二种方法容易掌握。

参考文献：

[1]曹辉，马文素，李强.《应用数学》[M].大连理工大学出版社

[2]王敬有.三角代换在换元积分法中的应用[J].1983.8

作者简介：

裴昌萍（1962—），女，四川雅安人，本科，青海建筑职业技术学院高级讲师，研究方向：数学教育。