“一题三改”深化学生对于“恒成立”及“有解”问题的理解

辛欣

【摘要】“有解”和”恒成立”问题是高中数学教学的重难点。很多学生在遇到“有解”和“恒成立”问题的时候一头雾水，不知道该从何下手，在进行信息内化以及化归及转化的过程中产生了麻烦。笔者通过四道习题的对比，揭示解决这类问题的一般思路。通过对比找到几种题型的共同点和差异性，从而归纳出解决这类问题的一般思路。

【关键词】有解恒成立不等式化归转化

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）06-0138-01

一、例题及解答

（2013年江苏无锡二模第17题改编）已知函数f(x)=|2x-3|和g(x)=-x2+c（c为常数）。设函数F(x)满足对x∈R，都有F（x）=F（-x），且当x∈[0,3]时，F(x)=f(x),若存在x1x2∈[-1,3]，使得|F（x1）-g（x2）|＜1成立，求實数c的取值范围。

解：因为F（x）=F（-x），故F(x)为偶函数，图像关于y轴对称。

当x=-1时，y=1.所以F（x）的值域为[0,3]。根据题意，只要F(x)的最小值与g(x)的最大值之差小于1，且g（x）的最小值与F(x)的最大值之差小于1即可，所以，

0-g（0）＜1g（3）-3＜1即0-c＜1c-9-3＜1

解得-1

二、反思与评价

本题考查了函数的奇偶性、值域，以及“有解问题”求解参数范围的不等式解法，其中后者是本题的核心考点。要想成功地解决本题，关键在于把“有解”的信息“翻译”成数学语言——不等式，之后再求出参数的范围。也就是说，化归和转化的数学思想，以及将陌生信息内化的过程。

在教学过程中，很多学生在“翻译”的过程中产生了思维障碍，导致无法解出题目。他们不知道题目这种叙述方式想说明什么，无法找出题目叙述的等价条件。针对这种现象，我认为是很多教师在教学过程中没有正确地引导学生明白几类问题的本质。学生看到一长串的晦涩的数学语言会恐慌，不知道从何下手，从而影响思维和发挥。因此，我在下面的叙述中，将本题改编成为另外三种不同的习题，在对比中找到通性通法和每种问题的不同之处，这样可以更好地帮助学生理解，提高学生的解题能力。

三、题目的改编

变式1.（之前同原题）若存在x1∈[-1,3]，使得|F（x1）-g（x1）|＜1成立，求实数c的取值范围

分析：变式1与原题的区别在于，原题的x1，x2是两个可以不同的数，因此函数值的范围是整个区间内的值域。而此题两个函数对应的自变量是相同的，两个函数值对应同一个x。也就是说，变式1的限定要比原题严格一些。

解：当g(x)恒小于F(x)时，构造新函数G（x）=F（x）-g（x）

因为F（x）为分段函数，当-1≤x<0时，G(x)=2x+3-（-x2+c）=x2+2x+3-c；

当0≤x<1.5时，G(x)=-2x+3-（-x2+c）=x2-2x+3-c；

当1.5≤x≤3时，G(x)=2x-3-（-x2+c）=x2+2x-3-c；

绘制出G（x）的图像后（可借助二次函数图像或者导数），可知其最小值是2-c，最大值是12-c。

根据题意，只要最小值小于1且最大值大于-1即可,所以1

变式2.（之前同原题）对于所有的x1∈[-1,3]，都有|F（x）-g（x）|<1成立，求实数c的取值范围。

分析：此题是对于所有的x，属于恒成立问题，要求比前两个题更严。

在变式1.求出值的基础上，因为恒成立，所以最大值小于1，最小值大于-1。所以c<3且c>11,无解，所以这种情况根本不存在。

变式3.（之前同原题）对于所有的x1，x2∈[-1,3]，都有|F（x1）-g（x2）|<1成立，求实数c的取值范围。

解：此题要求在整个定义域内满足条件。所以F（x）的最大值与g（x）的最小值的差小于1，且F（x）的最小值与g（x）的最大值的差大于-1即3-(c-9)<1且0-c>-1 解得c<1且c>11。不合题意，舍去。

四、小结

从上面的例子可以看出，随着条件要求越来越严格，符合条件的c也被限制的越来越严格。解决此类问题的关键在于判断问题类型，从两个角度考虑，一是几个自变量，二是存在还是恒成立问题。对于关于x的题（单自变量），可以构造新函数，之后考察其导数画草图求出最大和最小值，之后列出相应的不等式。对于关于x1，x2这样的题（双自变量），应该考察整个区间内的值域，之后进行比较，列方程。而且注意恒成立是对于区间所有x都得满足限制，而有解问题只需要存在一个满足此条件的x即可。因为对于恒成立问题，只有保证不等号小的那边的最大值仍然小于另一边的最小值，才能使得恒成立的条件成立；而对于有解问题则较为宽松，只要不等号小的一边最小值小于另一边的最大值即可。所以列出的不等式不同。