任意带状矩阵的求逆问题研究

邓勇

任意带状矩阵的求逆问题研究

邓勇

喀什师范学院数学系,新疆喀什市844006

对称Toeplitz矩阵、Toeplitz矩阵以及三对角矩阵在数学的众多领域有着广泛应用,尤其是三对角或更一般的带状矩阵经常被应用于解偏微分方程的有限差分法和求解变系数线性递归方程等问题之中.所谓r-带状矩阵Br,n,(1≤r≤n)指的是当-r≤i≤r,1≤j≤r时元素为{aij},而剩下的其他元素全为零的n×n阶矩阵且r称为其带宽.在已有文献中,关于r-带状矩阵的许多特殊情况(r=1,2,3)的求逆问题已经得到彻底解决.为将这些结果一般化,对Mallik方法进行了推广,并获得了r-带状矩阵Br,n的LU分解和求逆(如果存在)公式.特别地,当r=n时,它成为计算可逆方阵逆矩阵的新途径.

三角矩阵;Hessenberg矩阵;逆矩阵;r-带状矩阵

1 引言

目前，关于矩阵的求逆(如果存在)问题已有多种方法。例如：高斯——若当法、三角分解法、Cholesky分解法以及目前非常流行的分块求逆法等[1,2,3,4]。众所周知，对角矩阵A=diag( a1,…,an)的逆为A-1=进一步，若U是两对角矩阵，设为：

则U-1=(vij)，其中：

H B Li和M E Mikkawy等学者[6,7]证明了B-1=(cij)，其中：

由此可见，三对角矩阵的逆矩阵是非稀疏的，因此，分块求逆法对它不适用.基于这个原因，E Kilic利用反向连分数得到了三对角矩阵求逆的另一种特殊方法[8]。

一般地，我们定义n阶r-带状矩阵,rnB为：

2 r-带状矩阵的LU分解

为获得r-带状矩阵,rnB的LU分解，我们先构造两个递归数列，对1ir≤≤和1sr≥≥，定义

和

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定理1当1n＞时，r-带状矩阵,rnB的LU分解为,rnBLU=，其中L和U分别由(4)和(5)所定义。

证明Ⅰ.考虑i=j的情况，当1≤i=j≤r 时，由矩阵乘法及L和U的定义，可得：

在(2)中取r=i，可得bi,i=a1i.当i=j＞r时，由矩阵乘法及L和U的定义，可得：

在(2)中取i=1，可得bi,i=a1n。综上可知结论对i=j成立。

Ⅱ考虑ij≠且ji＞的情况，当jiq=+,11qr≤≤-时，由,rnB的定义，可知：

下面分两种情况讨论。首先，假设1≤i≤r-q ，因此有

由矩阵U和L的定义，上式可写成：

Ⅲ考虑i≠j且j＜i的情况，首先，设1≤i≤r-q ，由矩阵U和L的定义可得：

在(2)中取n=i和i=q，可得b=a-(q+1)，证毕。

i+q, ii

注：若在矩阵,rnB中取rn=,则定理1的结果对任意方阵的LU分解都有效。

由Br,n的LU分解立即可得det(Br,n)的一个计算公式，即

3 三角形矩阵的逆

为获得一般三角形矩阵的求逆公式，我们先构造三角形矩阵的Hessenberg子矩阵，并计算其行列式,进而确定三角形矩阵的逆矩阵元素。这里只讨论上三角形矩阵的情形，对下三角形矩阵类似可得。设H=(hij)是任意n× n阶上三角形矩阵.对s＞r＞0，删去H的前r列与后n-s列及前r-1行与后n-s+1行后所得到的s-r阶子矩阵称为H的上Hessenberg子矩阵，记作Hu(r, s)=()。显然，H的(s-r)×(s-r )阶上Hessenberg子矩阵Hu(r, s)具有如下形式：

类似地，设H=(hij)是任意n× n阶下三角形矩阵。对r＞s＞0，删去H的前r行与后n-s行及前r-1列与后n-s+1列后所得到的r-s阶子矩阵称为H的下Hessenberg子矩阵,记作.显然,H的(r-s)×(r-s )阶下Hessenberg子矩阵Hl( r, s)具有如下形式：

引理1设(j-i)×(j-i )阶上Hessenberg矩阵Hu(i, j)由(6)所定义，则对j＞i+1，有

证明只需对最后一列用Laplace展开定理计算上Hessenberg矩阵Hu(i, j)的行列式即可，证毕。

定理2设U=(aij)是任意n× n阶上三角形矩阵.若W=(wij)=U-1是它的逆矩阵，则

其中Hu(r, s)如前所述。

证明设WU=E=(eij)，显然，当i=j时，E=In是n阶单位矩阵.当j＞i时，由矩阵W和U的定义，可得：

由引理1，可得eij=0，证毕。

4 r-带状矩阵的求逆公式

为获得r-带状矩阵的求逆公式，只需求出下三角形矩阵L和上三角形矩阵U的逆即可。为此，由定理2可得引理2和引理3。因它们的证明只需代入直接验证,故在此省略。

引理2已知下三角形矩阵L由(4)给出.若E=(eij)表示L的逆，则：其中Ll( i, j)如前所定义。

引理3已知上三角形矩阵U由(5)给出。若G=(gij)表示U的逆，则：

其中Uu(i, j)如前所定义。

则：

证明：因为,rnBLU=，由引理2、3，可得别取i＜j, i=j, i＞j 三种情况，并将引理2、3中git,etj的表达式代入验证即可得证，证毕。

[1]赵立群.一些稀疏矩阵的逆和行列式的计算[D].福建:闽南师范大学数学与统计学院,2011

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[3]杨明顺.三角矩阵求逆的一种方法[J].渭南师范学院学报,2003,18(5):12-13

[4]苏连存.高阶矩阵分块求逆的一组公式及应用[J].青海大学学报(自然科学版),2002,20(5):62-65

[5]王美莲,何翠竹.一类特殊矩阵的逆矩阵的特点及求逆公式[J].忻州师范学院学报,2010,26(2):42-43

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[8]Kilic E.Explicit formula for the inverse of a tridiagonal matrix by backward continued fractions[J].Appl Math Compute,2008,197(6):345-357

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[10]Mallik R K.The inverse of a tridiagonal matrix[J].Linear AlgebraAppl,2001,325(2):109-139

The Inverse Problems Research ofArbitrary Banded Matrix

DENG Yong
Department of Mathematics,Kashgar Teacher's College,Kashgar844006,China

The inverses ofr-banded matrices,forr=1,2,3 have been completely resolved as one can see from the references. LetBr,n,(1≤r≤n)be ann×nmatrix of entries{aij},(-r≤i≤r,1≤j≤r),with the remaining un-indexed entries all zeros.In this paper, generalizing a method of Mallik,we give theLUfactorization and the inverse of the matrixBr,n(if it exists).Our results are valid for an arbitrary square matrix(takingr=n),and so,we will give a new approach for computing the inverse of an invertible square matrix.

Triangular matrix;Hessenberg matrix;inverse matrix;r-banded matrix

O151.21

A

1000-2324(2014)04-0620-06

2013-03-22

2013-04-25

国家社科基金项目(11XTJ001)

邓勇(1967-),男,四川遂宁人,教授,硕士生导师,主要从事矩阵及其数值研究.Email:dengy-ks@sohu.com