垂径定理教学设计

江治

【中图分类号】G423.2 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）5-0190-02

【教材分析】1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和弦的关系。

2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据。

【教学目标】

1.知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；

②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；

③掌握辅助线的作法--过圆心作一条与弦垂直的线段。

2.能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；

②向学生渗透"由特殊到一般，再由一般到特殊"的基本思想方法。

3.情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；

②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

【教学重点】垂直于弦的直径的性质及其应用。

【教学难点】1、垂径定理的证明。2、垂径定理的题设与结论的区分。

【教学方法】本节课采用的教学方法是"引导发现法和直观演示法"。

【教学设计】

一、实例导入，激疑引趣

1、实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文，其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。

2、情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一些实际问题转化为数学问题

3、回顾旧识

我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题

1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？

（白板上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）

二、尝试诱导，发现定理

1、引入新课

问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？（2）如果是，它的对称轴是什么？

拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无穷多条

2、揭示课题

白板上用几何画板上作图：（1）做一圆(2) 在圆上任意作一条弦 AB；

(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。（板书课题：垂直于弦的直径）

3、师生互动

运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论

（1）图中圆可能会有哪些等量关系？

（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？

4、探求新知

提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它

已知：CD是☉O的直径，AB是弦，AB⊥CD证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

①证明"AE=BE"，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。

②证明"弧相等"，就是要证明它们"能够完全重合"，可利用圆的对称性证明。

归纳定理：

根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为"垂径定理"。

（<板书>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。<进一步也可推知>垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）

5、运用新知练习1：

一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，

水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。

在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径

的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：

过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直

角三角形的有关知识解题。

三、例题示范，变式练习

1.運用定理进行计算。

〚例1〛如图1，在☉O中，若弦AB的长为16cm，圆心

O到AB的距离为6cm，求☉O的半径。

分析：因为已知"圆心O到AB的距离为6cm"，所以要作（图1）

辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。

解：（略）学生口述，教师板书。

〚变式一〛在图1中，若☉O的半径为5cm，OE=3cm，则AB= 。

思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，则R、a、d三者之间的关系式是 。

〚变式二〛如图2，在☉O中，半径OC⊥AB，垂足为E，若CE=2cm，AB=8cm，则☉O的半径= 。

思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）

2.运用定理进行证明

〚例2〛已知：如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC=BD。

分析：证明线段相等，常用全等，可不可以用"垂径定理"证明。

证法：过点O作OE⊥AB于E，用"垂径定理"证明。

注：辅助线"过圆心作弦的垂线段"是证明关键，也是常用辅助线。

思考：在图3中，若AC=2，AB=10，则圆环的面积是 。

四、师生小结，画龙点睛

1.两个定理

2.一个计算

3.一种辅助线--过圆心作弦的垂线段。

五、分层作业

1、必做题:习题24.1-7,8

2、选做题:习题24.1-13