动态经济系统最优控制与极大值原理的经济学解释

许坚

【文章摘要】

本文从动态经济系统最优控制的数学模型入手，解释模型变量，并在此基础上给出动态经济系统最优控制的经济学解释，最后结合一个实例来分析应用极大值原理求解实际问题，以便直观而深刻的理解极大值原理在经济系统中的应用。

【关键词】

动态经济系统；最优控制；极大值原理；经济学

0 引言

動态最优化的问题，在自然科学与社会科学的很多领域中有着十分广泛的应用。在经济学中，尤其在博弈论和宏观经济学中有着大量的应用，研究动态最优化的数学工具有好几种，如变分法、最优控制理论和动态规划等。极大值原理不仅在现代控制理论中应用甚广，在经济金融领域的应用也相当广泛，为了能有效的解决实际问题，解决经济领域的复杂控制问题，深刻理解数学中的极大值原理的实质及原理精髓，了解其经济学解释对解决经济系统的最优控制问题帮助很大。

极大值（也称极小值）原理是苏联学者庞特里亚金很早就提出来的，后来人们利用极大值原理求解最优控制，以取代古典变分法。实际上，极大值原理也可看成古典变分法的推广，即最优控制域不必局限于开集，也可推广到闭集。

1 动态经济系统最优控制的数学模型

1.1原始最优控制数学模型简介：

状态变量的时间发展轨迹：；性能指标函数为：

哈密尔顿函数（辅助函数）

1.2问题的数学模型

按照最优控制问题的模式引入符号标志：经济系统有n个经济变量，以及m个决策变量，动态经济系统最优控制的数学模型可由下面的式子描述：

其中受到一定限制；

其中已知，给定， 在解决实际的经济问题时，通常只考虑n=2，m=3的情况，即只有两个经济变量，两个决策变量，从而上述模型可以简化为：

其中受到一定限制；

其中已知，给定。

动态经济系统最优控制数学模型的极大值原理的必要条件：

（1）

其中为哈密尔顿算子，决策变量在容许范围内应使得哈密尔顿函数取值最大。如果是没有限制的，那么哈密尔顿函数值取极大值的条件为：

动态经济系统最优控制的极大值原理必要条件的经济学解释

在（1）中，哈密尔顿算子可看作影子价格，于是（1）可记作

由于，所以上式又可记作

（2）

由（1）和（2）得出

（3）

由（3）可以看出：是固定成本的价格，是中间投入的价格，当进行最优决策时，不仅要使在时间内获得的人均消费最大，也要考虑到固定资本 与中间投入的增值最大。

一般来说，称为对目标值的瞬间直接贡献，称为对目标的瞬时间接贡献，两者之和称为对目标值的瞬时总贡献，这便是哈密尔顿函数的经济学意义。当进行经济决策时，应当使得哈密尔顿函数值取最大，这便是极大值原理的经济学意义。

再来解释影子价格与的经济学意义：对于动态经济系统来说，其它都不变，仅固定资本增加的量，那么由于 的增加必使得在时间内目标增加，称为由引起的收益；另一方面，若拥有的资本，在t时刻价值为，在时刻价值为，两者之差为，称其为的边际成本。由于仅在变化，故。上式可以写成（4），对的变化作类似分析，可得到

（5）

而（4）（5）就是动态经济系统最优控制数学模型极值的必要条件。

2 实例分析

例如某种粮专业户现拥有1台抽水机及1辆马车等固定资本总共 = 1.5万元，投入种子及化肥等中间消耗= 0.3万元，再投入10人年劳动工时；种20亩地，亩产1 500斤，每斤卖1元，种粮收入3万元，加上其他收入共3.27万元。每年除消费外，余下的用于扩大再生产，根据最优增长模型，在防调发展状态下，产出的收入中应该有多少比例用于购买设备，多少比例用于购买化肥、种子、农药等中间消耗投入？

解：首先构造哈密尔顿函数

当且时，应令。当且时，应令。以上两种情况都是在约束边界上，或为1意味着消费为0，这在长时间内是不可能的。因此经过一定时间的调整后，必然使得或都小于1，我们称为协调发展状态。

现在讨论协调发展时与的取值：在协调发展时，，上式对时间t求导，得到。代入极值的必要条件，得到 。

将哈密尔顿函数代入上式，可以得出：

同样可以求出：。由此可以求出 因此，最优的用于购置设备的投资比例，正好是生产函数中的指数；最优的用于购置中间消耗投入的比例，正好是生产函数中的指数，余下的30%用于消费。

【参考文献】

[1]赫孝良.最优化与最优控制[M].西安交通大学出版社，2009.

[2]安吉尔·德·拉·弗恩特.经济数学方法与模型[M].上海：上海财经大学出版社，2003.