两环形导轨平面度平行度测试方法*

刘庆博，赵圣宇，任顺清

(哈尔滨工业大学空间控制与惯性技术中心，黑龙江哈尔滨 150080)

0 引言

为了保证支承在两环形导轨运动物体的运动平稳性，一是需要保证单个环形导轨的平面度误差满足一定的要求［1］，二是要保证两环形导轨所确定的两个平面的平行度误差，以免运动物体产生周期性的摇摆颠簸运行［2］。为此，将采用误差分离技术，用水平仪测试并分离这些误差。对平面度平行度误差的测试采用计算机按最小区域法处理误差分析的精度不是很理想［3-4］，用自准直仪加光学直角器来测量导轨在水平面内平行度误差的测试方法对测量仪器有一定的要求［5］，笔者采用较为简易的测量工具——水平仪进行导轨平行度误差测试。

1 测试原理

1.1 导轨相对高度与水平仪度零位的关系

水平仪的理想读数为测量两端的连线与水平面的夹角，但是水平仪存在测量的零位误差，线性度误差等因素，测量值与实际值有一定偏差。由于此研究的测量范围小，只需考虑零位误差即可。如果实际的夹角为θ，令水平仪的跨距为l，则水平仪桥板两端相对于水平面的高度差h=lsin θ，θ为水平仪的读数，又因为θ很小，所以水平仪每次测量的相对高度可以近似为h=l·θ。但实际情况是水平仪存在零位误差，即水平仪(包括桥板)放置在绝对水平面的理想读数为零，但实际读数不是零，设为α0，应满足θ-α0=h/l。

1.2 测试误差模型的建立

首先建立基准坐标系:在环形导轨上标上测试点0，相邻两个测试点之间的距离为水平仪的跨距，基准坐标系的O0x0轴水平指向测试点0，O0y0轴处于水平面内并与O0x0轴垂直，O0z0轴竖直向上。

环形导轨坐标系Oxyz的建立:可以认为环形导轨坐标系是绕O0x0轴旋转Δθx，绕O0y0轴旋转Δθy，形成环形导轨坐标系，其姿态关系为:

建立如图1所示坐标系，x轴指向测试点0，测试点0，1，2，……，m在环形导轨上，相邻间距为水平仪的跨距，z轴指向上，y轴与x轴垂直，Oxy在环形导轨所确定的平面之内，水平仪在第i个测试点与x轴的夹角为γ，即γ=i·α，第i个测试点的坐标可以表示为 ［Rcos γ Rsin γ 0］T，其中环形导轨的半径为R，则向量 ［Rcos γ Rsin γ 0］T在基准坐标系下表示为:

图1 测试示意图

设坐标原点O0处的高度为0，式(2)中的z坐标表示测量点的理想高度，假设各个测试点的平面度误差为 ε0，ε1，ε2，…，εm，水平仪的零位误差为 Δθ0，设坐标原点O0处的高度为0，则测试点0的高度为:

水平仪处于0，1位置之间时的读数 θ1，0，则:

同理可以得到水平仪处于1，2位置之间时，有:

从上面的公式可以推导出:

1.3 数据处理分析

将上面的等式写成矩阵的形式:

即:

式中:X为要辨识的参数矩阵向量;ε为残余误差;m为已知的测量次数;R为环形导轨的半径;α为水平仪两端与环形导轨圆心连线的夹角，且满足几何关系l=2Rsin(α/2)，即α=2arcsin(l/2R)。通过矩阵形式，可以得到Δθ是水平仪读数逐步累加得到的矩阵，常数项为 ε0-RΔθy，Δθ0在累加中表现为一次线性斜坡项，可以利用最小二乘法进行辨识，得到的残余误差为导轨的平面度误差［6］。

根据最小二乘法可以得到误差系数的估计值:

进而可以辨识出 Δθy，Δθx，Δθ0，计算出环形导轨的水平度误差和平面度误差ε=YΦX。

1.4 两环形导轨的水平度计算平行度误差

用水平仪分别对两环形导轨进行测试，可以得到两环形导轨各自的水平度，根据公式 Δθ=可以计算出两环形导轨所确定平面的平行度误差。

2 测试数据与结果

将水平仪沿外，内两环形导轨依次摆放进行测量，其中外导轨的半径R1=453 mm，水平仪的跨距l1=150 mm，内导轨的半径R2=304 mm，水平仪的跨距l2=93 mm，记录水平仪的读数，如表1所列。

表1 水平仪沿外环和内环形导轨测量的读数

根据表1，对水平仪的读数进行累加，利用最小二乘法，计算出外、内环形导轨的 Δθy，Δθx，Δθ0，以及其平面度。计算结果如下:外环形导轨二维水平度Δθy1=-10.40″，Δθx1=-0.34″，Δθ01=4.21″，平面度误差的范围为-7.09 ～11.31 μm;内环形导轨二维水平度 Δθy2=-11.87″，Δθx2=-1.84″，Δθ02=6.77″，平面度误差的范围为-2.40 ～1.65 μm。根据公式 Δθ=计算出两环形导轨的平行度误差 Δθ=2.10″。

3 测试误差分析

利用最小二乘法进行精度分析，假设每个测量值都是等精度的，首先计算残差的标准差，根据公式(12)，有4个未知数，则残差标准差为:

误差模型系数:

令:

则:

同理可得:

Δθy的不确定度为:

令 B=AAT，则为B中主对角线的元素B11，则:

同理可得:

根据测试结果，计算出外环形导轨 σΔθy1=0.81″，σΔθx1=1.25″，内环形导轨 σΔθy2=0.32″，σΔθx2=0.47″，则两环形导轨所确定平面的平行度误差的不确定度为 1.13″。

4 结论

介绍了利用水平仪测量环形导轨水平度和平面度的方法，对水平仪读数进行逐步累加后，其中一次谐波表现为导轨的水平度误差，一次线性斜坡项表现为水平仪的零位误差，残余误差表现为导轨的平面度误差。通过测量两个环形导轨的水平度误差，计算了两环形导轨所确定平面的平行度误差，对平行度误差测试结果进行了分析，测试不确定度为1.13″，证明了该方法能够达到测试精度的要求。

［1］ 曹恒斌，张巨宝，曹蝾方.重型机械装备环形导轨磨损后修复工艺设计［J］.新技术新工艺，2009(12):127-128.

［2］ 马 勇.环形导轨工作台精度超差的分析与解决［J］.铁道机车车辆工人，2009(6):28-30.

［3］ 徐 虎，陈于萍.用计算机按最小区域法处理导轨直线度、平行度和垂直度误差［J］.设备维修，1988(2):10-12

［4］ 车晓毅.平面度误差数据处理系统的研究［J］.机械研究与应用，2002，15(4):1-2

［5］ 孙振凯.导轨在水平面内平行度误差的测量［J］.机械工艺师，1984(10):32-33

［6］ 官奇志.立车1563底座导轨安装精度的调整［J］.机械工人，2003(7):59-60.