巧用三角形面积解决几何问题

赵云

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0055-01

在初中阶段，三角形作为一种基本图形，其题型多种多样，下面我就将能利用三角形面积解决的部分题型罗列如下，供大家参考。

[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于点D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的长。

解法一：（作图）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5

∴sinA==

=

CD=

解法二（作图，利用面积解）：

∵S△ABC=BC€譇C=30

∴S△ABC=ABCD=30

∴BC€譇C=AB€證D

CD=

[示例2]如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD是等腰三角形AC边上的高，猜想PE、PF和BD之间具有怎样的数量关系。

证法一：过P点作PM⊥BD于M，

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？

∴四边形DFPM为矩形

∴PF=MD，PM∥AC

∴∠MPB=∠C

又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC

即∠ABC=∠C=∠MPB

又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP

∴△BEP≌△PMB

∴PE=BM

又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD

∴PE+PF=BD

证法二：

连接AP则S△ABC=AC BD

又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）

∴AC（PE+PF）=AC BD

∴PE+PF=BD

很明显以上两例中，利用面积的解法比解法一简单一点，也利于学生接受和记忆。本文在此只做抛砖引玉之举，能够为广大教育工作者提供一种启示，一种思路。在教学过程中，往往一题有多种解法，我们不妨给予学生适当的提示与鼓励，培养他们的发散性思维，往往能收到良好的效果。

（责任编辑 刘 馨）endprint

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0055-01

在初中阶段，三角形作为一种基本图形，其题型多种多样，下面我就将能利用三角形面积解决的部分题型罗列如下，供大家参考。

[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于点D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的长。

解法一：（作图）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5

∴sinA==

=

CD=

解法二（作图，利用面积解）：

∵S△ABC=BC€譇C=30

∴S△ABC=ABCD=30

∴BC€譇C=AB€證D

CD=

[示例2]如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD是等腰三角形AC边上的高，猜想PE、PF和BD之间具有怎样的数量关系。

证法一：过P点作PM⊥BD于M，

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？

∴四边形DFPM为矩形

∴PF=MD，PM∥AC

∴∠MPB=∠C

又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC

即∠ABC=∠C=∠MPB

又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP

∴△BEP≌△PMB

∴PE=BM

又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD

∴PE+PF=BD

证法二：

连接AP则S△ABC=AC BD

又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）

∴AC（PE+PF）=AC BD

∴PE+PF=BD

很明显以上两例中，利用面积的解法比解法一简单一点，也利于学生接受和记忆。本文在此只做抛砖引玉之举，能够为广大教育工作者提供一种启示，一种思路。在教学过程中，往往一题有多种解法，我们不妨给予学生适当的提示与鼓励，培养他们的发散性思维，往往能收到良好的效果。

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中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）12-0055-01

在初中阶段，三角形作为一种基本图形，其题型多种多样，下面我就将能利用三角形面积解决的部分题型罗列如下，供大家参考。

[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于点D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的长。

解法一：（作图）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5

∴sinA==

=

CD=

解法二（作图，利用面积解）：

∵S△ABC=BC€譇C=30

∴S△ABC=ABCD=30

∴BC€譇C=AB€證D

CD=

[示例2]如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，BD是等腰三角形AC边上的高，猜想PE、PF和BD之间具有怎样的数量关系。

证法一：过P点作PM⊥BD于M，

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？

∴四边形DFPM为矩形

∴PF=MD，PM∥AC

∴∠MPB=∠C

又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC

即∠ABC=∠C=∠MPB

又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP

∴△BEP≌△PMB

∴PE=BM

又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD

∴PE+PF=BD

证法二：

连接AP则S△ABC=AC BD

又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）

∴AC（PE+PF）=AC BD

∴PE+PF=BD

很明显以上两例中，利用面积的解法比解法一简单一点，也利于学生接受和记忆。本文在此只做抛砖引玉之举，能够为广大教育工作者提供一种启示，一种思路。在教学过程中，往往一题有多种解法，我们不妨给予学生适当的提示与鼓励，培养他们的发散性思维，往往能收到良好的效果。

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