浅谈不等式的交汇题型

陈怀平

【摘 要】不等式作为高考数学的重要内容，具有应用广泛、变换灵活、知识综合能力要求较高的特点。不等式问题在近几年的高考题中占有相当的比重。本文通过近几年的高考试题，简单的介绍下不等式与集合、逻辑、函数、向量、方程、立体几何交汇的方式，充分体现出不等式的工具性作用。

【关键词】不等式；交汇

不等式是中学数学的重要组成部分，它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，所以说不等式是数学的重要内容，是研究数量大小关系的必备知识，也是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具。从近几年高考试题综合分析来看，大致分为四类：解不等式问题，求最大值、最小值问题以及求参数的取值范围，不等式的证明问题，不等式的应用问题。这些试题不仅考察了不等式的基础知识和基本方法，而且有效地考察了考生的逻辑推理能力、运算能力以及运用相关知识和方法去分析问题和解问题的能力。笔者结合近几年的高考试题，粗略地谈谈不等式的交汇问题的几种类型。

一、不等式与集合交汇

例：设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}B={x|x≥a-1}若A∪B=R ，则a的取值范围是 （2013上海高考）

解：当a>1时A=（-∞，1]∪[a，+∞） ，B=[a-1，+∞）

若A∪B=R ，则a-1≤1

∴1

当a=1时A=R 此时A∪B=R

当a<1时 A=（-∞，a]∪[1，+∞） ，B=[a-1，+∞）

若A∪B=R，则a-1≤a ，显然成立

∴a<1

综上所述 a的取值范围是（-∞，2]

二、不等式与简易逻辑交汇

例：设x∈R，则“”是“2x2+x-1>0”的 条件（2012天津高考）

解：不等式2x2+x-1>0的解是或x<-1

所以是“2x2+x-1>0”成立的充分不必要条件

三、不等式与函数交汇

例：已知f（x）是定义在R上的奇函数。当x>0时，f（x）=x2-4x，则不等式f（x）>x 的解集用区间表示为 .

解：做出f（x）=x2-4x （x>0）的图像，如下图所示。

由于f（x）是定义在R上的奇函数，

利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。

不等式f（x）>x，表示函数y=f（x）的图像在y=x的上方，

观察图像易得：解集为（-5，0） ∪（5，﹢∞）.

四、不等式与方程交汇

例：设m，k为整数，方程mx2-kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则

m+k的最小值为 （2011重庆高考）

解：设f（x）=mx2-kx+2=0，则方程mx2-kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根等价于，因为f（0）=2，所以f（1）=m-k+2>0，故抛物线开口向上，于是m>0，00，得k≥3，则，所以m至少为2，但k2-8m>0，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由m>k-2=5-2，所以m至少为4，……依次类推，发现当m=6，k=7时，m，k首次满足所有条件，故m+k的最小值为13

五、不等式与向量交汇

例：若平面向量 满足 ，

則 的最小值是

解：由向量的数量积知

故 （当且仅当<> =π时等号成立）

由得

（当且仅当 <> =π时取等号）

故的最小值是

六、不等式与立体几何交汇

例：如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示）.

当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大。

解：在如图1所示的△ABC中，设BD=x（0

由AD⊥BC，∠ACB=45°知，△ADC为等腰直角三角形，所以AD=CD=3-x.

由折起前AD⊥BC知，折起后（如图2），AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC=D，

所以AD⊥平面BCD.又∠BDC=90°，所以.

于是

，

当且仅当2x=3-x，即x=1时，等号成立，

故当x=1，即BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大

以上是笔者对于不等式在高考中的交汇类型做的简单归纳，在不等式的学习中，不仅要注意不等式这一章纵向的联系，更应重视不等式与其他章节的横向联系，加强化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想等数学思想方法在不等式中的应用训练，要强化不等式的应用，高考中各方面都有可能涉及不等式的知识，以利于高考选拔功能的充分发挥，因此在学习中应加强这方面的训练，提高应用意识。

参考文献：

[1]钟山.《高考备考工具书》.辽宁教育出版社，2010年3月

[2]胡磊.基本不等式的交汇问题.《中学课程辅导》，2011年第4期