关于函数F（x） =

【摘 要】函数是一类重要的抽象函数，本文给出了它的两个结论：①函数F（x）在f（x）满足李卜西兹条件下是一致连续的；②函数F（x）在f（x）满足一定条件下具有一阶连续导数。

【关键词】李卜西兹条件；连续；一致连续；连续导数

是一类重要的抽象函数，当f（x）满足不同的条件时，会得到不同的结论。 本文讨论了以下两个方面的问题。

一、函数F（x）在f（x）满足李卜西兹条件下一致连续

函数的一致连续性是一种较强的连续性，其定义为：设f（x）为定义在区间I上的函数，若存在函数δ=δ（ε），只要且|x1-x2|<δ，都有|f（x1）-f（x2）|<ε，则称f（x）在区间I上一直连续。而研究函数的一致连续性，李卜西兹条件是一个重要条件，其定义为：设函数f（x）定义在I上，若存在常数L>0，使得对于该区间I上任意x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|

结论1：若函数f（x）在[a，+∞）（a>0）上满足李卜西兹条件，则函数在[a，+∞）上一致连续。

问题分析：由于是一类抽象函数，故要证明其一致收敛只要用定义。为此需考虑：

至此，可以看出：要根据定义判断其一致收敛，只要证明在[a，+∞）上一致收敛的。证明：由已知条件知：在L>0，使对任意x1，x2∈[a，+∞），都有|f（x1）-f（x2）≤L|x1-x2|

于是由一致收敛的定义知f（x）在[a，+∞）上一致连续，进而对于取1>0，存在δ0>0（δ0

又因对任意a∈[a，+∞）存在n，使a+（n-1）δ0

故 |f（x）|≤f（a）+n

则

又注意到0<δ0

进而

再由x∈[a，+∞）的任意性知在[a，+∞）上有界，取，从而有， 对任意的x1，x2∈[a，+∞），有

故有

于是由一致连续的定义可知，在[a，+∞）上一致连续。

二、函数F（x）在f（x）满足一定条件下具有一阶连续导数

结论2：设f（x）在（-1，1）内具有二阶连续导数，f（0）=0。证明：函数

在（-1，1）内有一阶连续导数。

证明：当0<|x|<1时，由已知条件知：

所以

当x=0时，有

故F?（x）在（-1，1）处连续，即F（x）在（-1，1）内有一阶连续导数。

参考文献：

[1]华东师大数学系编.数学分析[M]，第二版.北京：高等教育出版社，1991年

[2]刘玉琏等.数学分析讲义[M]，第四版.北京：高等教育出版社，2003年

[3]常瑞玲，郑兆顺.高等数学[M].北京：北京师范大学出版社，2012年

作者简介：

宋林锋（1967～），男，河南省濮阳县人，硕士研究生，濮阳职业技术学院数学与信息工程系讲师，研究方向：应用数学、数学教学研究。