几何光学中成像性质的确定

周美建

(江苏省泰兴中学 江苏 泰州 225400)

1 符号法则

几何光学中常采用两种符号法则：一种是中学教材中采用的实正虚负规则，物距用u表示，像距用v表示；另一种是笛卡儿坐标规则.前一种规则是各类竞赛资料书中普遍采用的方法，后一种规则在进一步成像研究中比较方便，其规则主要有以下几点.

光线：从左到右；

线段：物距(s)、像距(s′)、半径(r)从顶点O量起，向右为正，向左为负；

高度：物高(y)、像高(y′)垂直于主轴向上为正，向下为负；

光路图中标的长度和角度只用正值.

2 近轴物在近轴光线条件下球面折射的物像公式

光路如图1中物空间折射率为n，像空间折射率为n′；PQ为垂直于主轴的近轴物，高度为y；P′Q′为近轴光线条件下球面折射的像，高度为y′.

图1 球面镜折射的光路图

Q→A→Q′光程差为

由于QAQ′与h无关的条件，那么

这样我们就得到近轴光线下的物像公式

横向放大率

(1)

式(1)中，其中若β>0，则像的性质为正立，实物成虚像，虚物成实像；若β<0，则像的性质为倒立，实物成实像，虚物成虚像；若|β|>1，则像为放大的像；若|β|<1，则像为缩小的像；若|β|=1，则像为等大的像.

3 常见光学仪器近轴条件下的成像公式

常见的光学仪器有平面镜、球面镜、平行玻璃砖和三棱镜(平面折射)、介质球(球面折射)和薄透镜等，它们的成像公式和横向放大率都可以根据近轴条件下球面折射推导出来.

3.1 平面镜

平面镜成像遵守光的反射定律，能改变光路，但不改变光束的敛散性质，所成的像为左右颠倒、正立、等大、对称的虚像，光路如图2.

图2 平面镜成像的光路图

规定n′=-n，r→∞，则式(1)变为平面镜的物像关系：s′+s=0，β=+1 ；即所成的像为对称、等大、正立的虚像.

3.2 球面镜

反射面是球面的一部分的面镜叫球面镜.反射面是凹的球面叫凹面镜，它的焦点是实焦点；反射面是凸的球面叫凸面镜，它的焦点是虚焦点，如图3，O为球面镜的顶点，C为球面镜的球心.

规定n′=-n，则式(1)变为球面镜的物像关系

图3 球面镜成像的光路图

3.3 平面折射

图4 平面折射成像的光路图

平行玻璃砖、三棱镜、水面正上方的人看水中的鱼等等就属于平面折射问题.如图4光路为水中的人看水面正上方飞过的小鸟，为了方便我们画成水平位置，假设鸟所在物空间的折射率为n，鸟的像所在像空间的折射率为n′.

规定r→∞，则式(1)变为平面折射的物像关系

如果n′>n，那么-s′>-s，即水中的人看到的鸟的像在实际鸟位置的上方，是等大的虚像.

3.4 介质球

一只玻璃球放置于空气中，人眼从一侧观察另一侧的景物，就可以两次利用单球面折射公式和横向放大率确定最终像的位置和像的性质，具体方法可见后面的例题.

3.5 薄透镜

透镜的厚度远小于折射面的曲率半径则称为薄透镜.如图5中，物空间折射率为n1，透镜材料的折射率为n，像空间的折射率为n2；左侧折射面曲率半径为r1，右侧折射面曲率半径为-r2.

图5 薄透镜成像的光路图

则物经左折射面折射

像作为物再经右折射面折射

为了方便，常写成

横向放大率为

令s→∞，则

称为像方焦距，那么像的位置和像的性质就可以确定了.

4 应用

由透镜、平面镜、球面镜等多个光学元件构成的一个光学系统称为光具组.求解物体通过光具组成像问题的总原则是：一方面要注意不同的光学元件各自的成像规律，另一方面要注意成像的先后顺序以及像与物的相对性，即前一光学元件的像视为后一光学元件之物.最终成像位置由最后一个光学元件成像的位置决定；最终成像的性质也由最后一次成像的性质决定；总放大系数等于各次放大系数的乘积.

【例1】半径为R的凹面镜和凸面镜主轴相互重合放置，两球面镜顶点O1和O2相距2.6R，现于主轴上距凹面镜顶点O1为0.6R处放一垂直于主轴的微小线光源S.设S发出的光先直接射到凹面镜上，问S经凹面镜和凸面镜各反射一次后所成的像在何处？最终像的性质如何？

图6 凹面镜和凸面镜组成的光学系统的光路图

最终成像在S处.由于β=β1β2=-25，所以成像性质为倒立、放大的实像.

特别注意的是第一次“s对凹面镜反射”所成的是实像，但光束未会聚成实像，就经过凸面镜的反射，故第二次“s2对凸面镜反射成像”时，应该视为虚物来处理.因为β2=5>0，所以应该为“虚物→实像”，而不是“实物→虚像”.

【例2】一平凸面透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上如图7.用计算法求出最终像的位置并确定像的性质.

图7 平凸透镜成像

【例3】长度为4 mm的物体AB由图8所示的光学系统成像.光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸标注于图上，求：

图8 三个光学器件组成的光学系统

(1)最终像的位置；

(2)像的大小，并说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的.

得

虚物→虚像；

即最终像位于凹透镜左侧约10.488 cm处.

y′=0.488×4 mm=1.95 mm

并且最终成正立、缩小的虚像.

参考文献

1 姚启钧.光学教程.北京：高等教育出版社,1989.195

2 张大同.高中物理竞赛辅导讲义.杭州：浙江大学出版社,2013.432