多项式根的友矩阵估计方法①

徐 鑫， 郑圣明

(安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601)

0 引言

代数基本定理[1]揭示其在复数域C内至少有一根，然而并没有给出根的具体表达式.实际上，Abel和Galois的工作表明，5次及以上的一般的一元多项式不存在根式解[6].因此，多项式根的范围的估计便成为了研究的热点，这方面的估计成果十分丰富，经典的结论有 Sturm[3]定理，再如[4，5]等.

矩阵的特征值是基本且重要的概念，其求解问题实质上是多项式的求根问题，在矩阵理论中有着独特的研究方法.对特征值最经典的估计当数Gerschgorin圆盘定理，近年来新的估计层出不穷，如文献[8]等.矩阵是个强有力的工具.本文将用多项式的友矩阵把多项式与矩阵统一起来，主要给出一元实系数多项式根的模的几个上界.

对于一元n次实系数多项式

1 准备知识

为了方便，我们讨论首一多项式

定义 多项式(2)的友矩阵为

易知，Af的特征多项式正是f(λ)，即

其中，In为n阶单位阵.由此可见，多项式(2)的根的估计问题等价于其友矩阵Af的特征值的估计问题.关于矩阵特征值的分布，有以下著名的Gerschgorin圆盘定理.

引理1(Gerschgorin圆盘定理)[3]给定n阶复方阵A=(aij)n×n，在平面上作闭圆盘:

引理2[2]n阶复矩阵A的谱半径为ρ(A)，‖A‖为A的任一相容的矩阵范数，则ρ(A)≤‖A‖.

引理3[1]设A，B分别是 n×m，m ×n级矩阵，则

引理4(Weyl定理)[3]设 λ ≥ λ ≥ … ≥

12λn，μ1≥μ2≥…≥μn分别是n阶实对称方阵A和B的n个特征值，v1≥v2≥…≥vn是A+B的n个特征值，则有λi+μn≤vi≤λi+μ1

2 主要结果

定理1 记

则多项式(2)的根λ0满足

证明: 对于f(λ)的友矩阵应用引理1，则一

方面Af的特征值落在行圆盘的并中，即 | λ0|，|λ0+an－1|≤1中至少有一个不等式成立.注意到若 | λ0+an－1|≤1 成立，则 | λ0|≤1+|an－1|必成立.故知|λ0|≤max{|a0|，1+|a1|，…，1+|an－1|}，即 | λ0|≤ Mf.

另一方面，Af的特征值λ0必落在列圆盘的并中，同样知 | λ0|≤ Mf′，从而 | λ0|≤min{Mf，Mf′}证毕.

推论1 多项式(2)的根λ0满足

证明: 注意到

由定理1即得到(4).

推论1是多项式根模的估计中的一个基本结论，最早由Cauchy得到.而对于一般的多项式(1)，对f(λ)运用定理1有如下的结果:推论2 多项式(1)的根λ0满足

上面利用圆盘定理估计了根模.接下来基于引理2利用矩阵范数估计根模.

注意到这是定理1的又一证明.

其实，Carmichael和Mason 给出了优于(6)的界[7]:

下面利用友矩阵给出异于[7]中的方法证明之.

定理2 多项式(2)的根λ0满足Carmichael－Mason界(7).

证明: 记 α = [a0，a1，…，an－1]T，

故ααT的特征值从大到小为λ3=… =λn=0.而B的特征值从大到小为μ1=μ2= … = μn－1=1，μn=0，所以根据引理 4 得，A最大特征值满足

现考虑Af的谱范数它是相容的矩阵范数[2]，其中为Af的共轭转置.由引理2及(8)得Af的特征值λ0满足

定理2的证明过程启示我们可以进一步考虑Af的谱范数，为此考虑AHfAf的最大特征值.

定理3 多项式(2)的根λ0满足

由于λ2－(a+2)λ+的判别式

显然 λ1≥ λ2，下证 λ1≥1.若 a≥1，则 λ1≥≥1;若a ＜1，则由4a2≥知(a+1)2－≥(1－ a)2.进一步即得λ1≥1.从而λ1是的最大特征值，所以由引理2便得到|证毕.

推论3 若多项式(2)的常数项a0≠0，则其根λ0满足

证明: 由于a0≠0，λ0≠0.由等式

的根，从而对g(λ)应用定理3得

[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2003.

[2]方保镕等.矩阵论[M].北京:清华大学出版社，2004.

[3]许以超.线性代数与矩阵论[M].北京:高等教育出版社，2008.

[4]宋永忠.多项式零点的存在区域[J].数学学报，1993.

[5]赵维加.多项式零点的界的一种估计[J].青岛大学学报，2000，13(2).

[6]Rotman.Advanced Modern Algebra[M].Prentice Hall，2002.

[7]M.Fujii and F.Kubo，Operator norms as Bounds for Roots of Algebraic Equations[J].Proc.Japan Acad.49(1973):805－808.

[8]H.Wolkowicz and George P.H.Styom.Bounds for Eigenvalues Using Traces[J].Linear Algebra Appl，29(1980):471－ 506.