完善问题中心图式提高数学解题能力

眭永翔

一、问题提出

数学教学中，许多教师认为，经过长期的解题思维训练就能够提高学生的逻辑思维能力、空间想象能力和运算、分析、归纳总结的能力。其实不然，随着智育认知心理学研究的不断深入，我们发现这些能力并不是单纯地做题训练就能产生，而是一个知识加工的过程。根据认知心理学的原理来理解，“解决某一个问题所需要的全部知识是一组以图示的形式表征的知识”，因为这一组知识是以要解决的问题为中心的，所以我们称这个图示为问题中心图示。问题中心图示中包括学生已掌握的相关公式、命题、定理等这些教材上现成的陈述性知识，还包括学生在遇到问题时指导自己该运用哪些方面的知识来解决问题的程序性知识，最后还包括用来监督、指导、调控学生自身思维活动的策略性知识。程序性知识和策略性知识有时区分并不太明显，也可以综合在一起理解，就是我们平时教给学生的或学生自己提炼、归纳的答题方法和策略。学生在解题时表现出困惑或者出现错误，主要是因为他们解决问题所需要的问题中心图示中的知识不完整，或者说不能整体呈现、清晰排列。

二、学困生的知识结构分析与补救

笔者在教学实践中发现，人们常说的数学“尖子生”，他们可以自发地记住大量陈述性知识，并归纳总结程序性和策略性知识。因为，首先他们大脑中的基础知识丰富、牢固且清晰，容易和新知识产生联系。其次，“尖子生”在解数学题时学习情绪高涨，容易记住新知识，善于思考和分析灵活运用程序性和策略性知识。而学困生恰恰相反。于是，笔者在课堂教学中，采用了问题中心图式对学生的知识结构进行干预，加强对学生陈述性、程序性和策略性知识的培养，以提高解题思维能力。根据上述理论假设，我们采用问题中心图式诊断法，对学习困难生学习困难的原因进行分析。

例如：阅读材料并回答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示。（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式（ ）。（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2。（3）请仿照上述方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。

（图1） （图2） （图3）

表1 完全平方公式应用的中心图式

本题的正确解题思路是在理解了完全平方公式的基础上，利用面积等量关系，从更深层次上对完全平方公式灵活运用。全班只有个别同学能答完整。笔者对做错的学生一一进行了个案调查询问，通过中心图式诊断，笔者发现，在第（1）小问上，有近五分之一的学生没有真正理解完全平方公式的基本结构和特点，对（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2这个式子的结构和特点观察不出来，说明这部分学生对完全平方公式构成的陈述性知识没有掌握好。在第（2）小问上，有五分之一的学生还不能理解通过计算大正方形的面积可以引出完全平方公式，对公式的认识还是停留在多项式乘法运算法则的层次上，无法获得怎样通过面积的等量关系来解决本题的程序性知识。有近五分之三的学生，对数形结合的思想意识相当薄弱，无法掌握从几何解释到代数运算再到几何解释的过程。于是，解答本题的第（3）小问的策略性知识“怎么办”时，找不到切入点或突破口。

针对上述几种情况，笔者在课堂上对全体学生进行了知识分析和巩固练习，让学生知道完全平方公式的构成，使学生形象地记忆它们，掌握住公式的陈述性知识。让学生体会代数运算的几何背景，通过准备一些边长为a的正方形、宽为a长为b的长方形以及边长为b的正方形卡片若干张，学生分小组选取相应型号和数量的卡片，拼出一个符合某个乘法公式的图形，然后小组讨论、总结并画出图形。通过这样的动手操作过程，使学生掌握住公式的程序性知识、策略性知识。以后再遇到类似问题时，大多数学生都能顺利完成解答。

三、教学策略

教学中，笔者结合问题中心图示理论，针对不同知识基础的学生，在课堂方法上进行了如下调整。

（1）引导学生进行合理的知识积累。知识是产生解题思维能力的前提与基础。在错误题型讲解时，很多教师都是指出学生所犯的错误，然后明确正确的思路，提出更正方法。笔者在上课时，先请做对的同学讲解自己的思路，然后由笔者帮助他列出问题中心图式，给出评分标准，让学生根据问题中心图式找出错误之处，分析错误原因，最后笔者再引导他们进行归纳总结。这可以提高学生自我学习能力，深刻认识产生错误的原因。在教学中，让学生意识到知识积累与成绩之间的正比关系，加强基础知识（陈述性知识）的记忆与训练。

（2）引导学生灵活运用知识。具备一定的知识还不会解题或解题错误，主要是问题中心图示中的程序性和策略性知识不完整。要帮助学生灵活运用已学知识，正确快速地解题。首先要学会仔细审题，然后分析如何解题，需要运用哪些知识才能解题，把所需公式、性质、定理在大脑中梳理清楚，逐个提取罗列。解题时注意自我监督和检验（程序性和策略性知识），有效进行推理论证，实现问题的解决。

（3）引导学生体会到学科魅力。教师应注重培养学生对数学的兴趣。首先，应该从教师自身抓起，做到板书清晰、工整，图示规范、美观，尽量让学生体会到数学图像的空间美感和数学公式、语言的简洁明了。其次，既要让学生感受到正确回答问题的成功和喜悦，又要让学生在回答错误时不受指责和讽刺，体会数学课的轻松愉快，营造良好课堂氛围。再次，让学生理论联系实际，到生活中去发现数学规律与原理，认识数学的价值与意义，激发学习兴趣。

（4）注重教学方法。方法是学好数学的敲门砖。一是注重数形结合。不要让学生死记硬背概念、定理、公式，要把理论与具体图形或现实生活中的物象相结合，把背诵的知识具象化，这样才会记得扎实又牢固。二是注重知识铺垫。学习新知识之前引进与其有相似性的旧知识，通过熟悉的已学知识来理解有相似关系的新知识，实现知识迁移，进行比较记忆，学生更容易接受和理解。三是注重知识总结归纳。学完某个知识点后，教师要帮助学生去总结和归纳，将知识进行整理，有针对和区别地分类记忆。明确知识重难点，让学生有所侧重去记忆，做到要点明确，重点突出，使知识在大脑中形成合理有序地排列，以便应用时随时提取。

（江苏昆山锦溪中学）