高考解题研究之利用导数证明不等式

罗焕荣

摘 要：导数在研究函数性质的问题当中起着十分重要的作用，尤其是在处理函数性质和不等式有关的综合性问题当中，导数往往扮演着重要的角色，需要利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。

关键词：不等式问题；导数；函数性质；单调性；构造函数；证明过程

导数是数学解题的重要工具，同时又是初等数学和高等数学知识的一个重要交汇点。这些年高考每年均有一题以上这种类型的题目,而且常都作为压轴题出现，因此我们很有必要研究其解题方法，只要掌握了解题方法和技巧,在高考中当我们遇到这类型题目时我们就会得心应手，问题也会迎刃而解。不等式的证明是高中数学中的重要内容之一，它又是不等式内容中的难点。证明不等式方法是很多的，但有些问题还是比较难以下手，而导数的应用就为我们开辟了一条新的途径。在这里我们主要介绍利用导数来证明不等式。

一、例题解析

例1.求证:emnn≥mnen，(其中m>0，n>0)

证明:对不等式两边取以e为底的对数得，

lnemnn≥lnmnen,化简得

m+nlnn≥nlnm+n

nln■+m-n≥0

ln■+■-1≥0 （*）

即要证原不等式成立,只要证上面（*）不等式成立就可以了。

设f′（x）=lnx+■-1（x>0）

易知f（1）=0

f′（x）=■-■=■

当x∈（0，1）时f′=（x）<0，函数f（x）为减函数

当x∈（1，+∞）时f′（x）>0，函数f（x）时,函数f（x）为增函数

∴f（1）为函数的最小值。

即f（x）≥f（1）=0

∴ln■+■-1≥0恒成立

故原不等式成立

评析:本题主要对原不等式进行变形，构造函数，再利用导数及函数的单调性来解决。

例2.已知:m、n∈N+,且1

求证:（1+m）n>（1+n）m

证明:∵1

∴2≤m

要证明（1+m）n>（1+n）m

只要证■>■成立就可以了

设f（x）=■（x≥2）

f′（x）=■

由x≥2知0<■<1；ln（1+x）1

∴f ′（x）（x）<0f（x）为单调递减函数

∵2≤m

∴f（m）>f（n）

∴■>■

∴（1+m）n>（1+n）m

评析:本题和例1方法类似。

例3.已知函数f（x）=xlnx （x>0），斜率为k的直线与曲线f ′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1

证：k=■=■

要证x1<■

1<■<■，令t=■

则只要证1<■

由t>1知lnt>0，故等价于证。

lnt1）（*）

①设g（t）=t-1-lnt（t≥1），则g′（t）=1-■≥0（t≥1），故g（t）在［1，＋∞）上是增函数

∴当t>1时，g（t）=t-1-lnt>g（1）=0，即t-1>lnt（t>1）

②设h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），则h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在［1，＋∞）上是增函数

∴当t>1时，h（t）=tlnt-（t-1）>h（1）=0，即t-11）

由①②知（*）成立，故不等式得证

评析:本题先利用解析几何的知识将原不等式等价变形,再通过构造函数以及利用导数来解决问题

例4.已知函数f（x）=ln(1+x)－x，g（x）=xlnx.且0

求证:0

证明：g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1

设F（x）=g（a）+g（x）-2g（■）

则F′（x）=g′（a）+g′（x）-2［g（■）］′=lnx-ln■

当0

当x>a时,F′（x）>0,因此，F（x）在（0，+∞）内为增函数

从而，当x=a时F（x）有极小值F（a），因此F（a）=0，b>a，所以F（b）>0，即0

设G（x）=F（x）-（x-a）ln2，则

G′（x）=lnx-ln■-ln2=lnx-ln（a+x）

当x>a时G′（x）<0，因此G（x）在（a，+∞）上为减函数

因为G（a）=0，b>a，所以G（b）<0，即g（a）+g（b）-2g（■）<（b-a）ln2.

原不等式得证

评析:本题含有两个不等式,因此分别构造两个函数并利用导数来解决。

二、意蕴

以上题型都是通过对原不等式进行变形之后,观察其特点，构造函数，然后再利用导数来进行解决问题，利用导数方法证明不等式都是难点，对综合能力的考查达也到了相当的高度。但只要我们掌握了其解题之规律，我们就能从审视题目中很快找到解题思路，从而轻松解决。

数学知识发源于问题，活用于问题解决，问题解决实质上运用已有的知识去探索新情境的问题，以达到新问题的解决，在问题解决中作为老师一定要注重培養学生的思想方法及解题技巧，这样才能有利于学生解题能力的拓展。

参考文献：

冯仕虎.例说应用导数证明不等式［J］.数学学习与研究：教研版，2008（11）.

（作者单位 广西河池市凤山县高中）

编辑 温雪莲