一次函数和二次函数中的“恒成立问题”

刘汉香

恒成立问题是历年高考中的一个热点问题，在数学研究中有着很重要的价值，在一次函数和二次函数中有着很重要的应用，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着函数与方程、数形结合等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，培养思维的灵活性、创造性 。

函数在给定条件的恒成立问题表现形式通常有以下几种： 函数的定义域为全体实数R、不等式的解为一切实数、在给定区间上某关系式恒成立、表达式的值恒大于a等……

一、一次函数型

给定一次函数y=f（x）=kx+b（a≠0），或者原题可化为一次函数型，则由数形结合思想可以利用一次函数知识求解。

若y=f（x）在[x1，x2]内恒有f（x）>0，则根据函数的图像（直线）可得结论等价于f（x■）>0f（x■）>0 。同理，若在x■，x■内恒有f（x）<0，则有f（x■）<0f（x■）<0。

例1.已知一次函数f（x）=（m-6）x+3m-4，若对任意x？缀[-2，2]，恒有f（x）>0成立，求m的取值范围。

分析：本题是一次函数恒成立的问题，首先满足其基本解题策略是利用数形结合思想，通过图像可知函数图像位于x轴上方，不论图像是上升还是下降，都要满足在区间两个端点处函数值大于0。

m≠6f（-2）>0f（2）>0 ，即m≠6-2m+12+3m-4>02m-12+3m-4>0。解得m>■且m≠6。

例2. 当|a|？燮1时，若不等式x■+（a-6）x+9-3a>0恒成立，求x的取值范围。

分析：本题是关于x的二次函数，出现了两个字母：x及a，还可看作是关于变量a的函数，则问题可转化为在[-1，1]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题，这样更为简捷。

原不等式转化为（x-3）a+x2-6x+9>0。

令f（a）=（x-3）a+x2-6x+9，则由题意可知：

f（-1）=-（x-3）+x2-6x+9>0f（1）=x-3+x2-6x+9>0，整理得x2-7x+12>0x2-5x+6>0，解得x>4或x<3x>3或x<2。∴x？缀（4，+∞）∪（-∞，2）。

此类题本质上是利用了一次函数在区间[m，n]上的图像是一线段，位于x轴上方或者是下方，只需保证该线段两端点函数值均大于0，或者小于0即可。

二、二次函数型

二次函数的问题是恒成立问题中出现频率极高的类型题，是高考考查的一个重点内容，通常与三角函数导数等类型题结合。这里介绍一下二次函数的简单基础问题，其主要形式有：

（1）二次函数全体实数上的恒成立问题主要考虑开口方向和△。

（2）二次函数在指定区间上的恒成立问题，转化求最值或者是根的分布知识求解。下面针对这两种类型给出例题解析：

例3. 已知函数y=■的定义域为R，求实数m的取值范围。

分析：mx2-6mx+m+8？叟0在R上恒成立，当m=0时，8？叟0成立，符合题意；当m≠0时，则m>0？驻=36m2-4m（m+8）？燮0，解得0

本题注意考虑根号下二次项系数是否为零，结合分类讨论思想和数形结合思想即可。

例4. 已知函数f（x）=x2-2ax+2在R上f（x）？叟0恒成立，求a的取值范围。

分析：y=f（x）的函数图像都在X轴及其上方，由图1所示：

略解：解得？驻=4a2+4a？燮0。

变式1：如图2，若f（x）？叟0在区间[-1，1]上恒成立，求a的取值范围。

分析：此类型题属于二次函数区间上恒成立问题，有两种思路：①转化求最值，讨论对称轴和区间的关系；②利用根的分布知识结合图像列出关系式求解。

解法一：f（x）=（x-a）2-a2+2，对称轴为x=a。

①当a<-1时，f（x）min=f（-1）=1+2a+

2？叟0，解得a？叟-■，∴-■？燮a<-1。

②当a>1时，f（x）min=f（1）=1-2a+

2？叟0，解得a？燮■，∴1

③当-1？燮a？燮1时，f（x）min=f（a）=-a+

2？叟0，解得-■？燮a？燮■，∴-1？燮a？燮■。综上所述，-■？燮a？燮■。

解法二：？驻=4a2-8？燮0，解得-■？燮a？燮■。

？驻=4a2-8>0f（-1）？叟0f（1）？叟0a？燮-1或a？叟1，解得a？叟-■a（-1）？叟0a？燮■a？燮-1或a？叟1。

∴■

变式二：若f（x）？叟-1在区间[-1，1]上恒成立，求a的取值范围。

分析：将-1移到不等式左边，得到f（x）+1？叟0在区间[-1，1]上恒成立，参照变式一得到结果，构造新的函数g（x）=x2-2ax+3，则

g（x）？叟0在[-1，1]上恒成立。

解法一：g（x）=（x-a）2-a2+3，对称轴为x=a。

① 当a<-1时，g（x）min=g（-1）=1+2a+3？叟0，解得a？叟-2，∴-2？燮a<-1。②当a>1时，g（x）min=g（1）=1-2a+3？叟0，解得a？燮2，∴1

解法二：？驻=4a2-12？燮0，解得-■？燮a？燮■。

？驻=4a2-12>0g（-1）？叟0g（1）？叟0a？燮-1或a？叟1，解得a？叟■或a<-■a？叟-2a？燮2a？燮-1或a？叟1。∴■

（辽宁省瓦房店市第八高级中学数学组）