研究性学习在《微积分》课程中的应用

邢婧　陆健华

【摘 要】近年来，越来越多的教育工作者致力于“研究性学习”的研究。项目组申报课题《“研究性学习”教学模式在大学数学教学中的应用研究》获得2011年湖北省高等學校省级教学研究项目立项（项目编号为：2011480）。项目组对研究性学习的教学模式进行了理论构建，并将其应用于大学数学的教学实践中。本文以微积分课程中的定积分的概念作为典型案例，阐述如何将“研究性学习”的应用于大学数学的重要课程《微积分》中去。

【关键词】研究性学习；微积分；定积分的概念

一、研究性学习教学模式的简介

“研究性学习”是指学生在教师指导下，以自主性、合作性、探究性的学习为基础，从学科领域或现实生活中选择和确定研究主题，以类似科学研究的方式去获取知识、应用知识，解决问题，并形成研究成果的一种学习活动。使用“研究性学习”进行教学的教学模式称为“研究性学习”教学模式。这种教学模式比较起传统的接收时教学，更加关注学生的学习过程，注重培养学生的创新意识和实践能力。

二、在《微积分》课程中引入“研究性学习”教学模式的思考

《微积分》是大学数学课程中的基础课程，具有高度的系统性和综合性。通过本课程的教学，学生可以掌握微积分学的基本概念、基本理论、基本方法和具有比较熟练的运算技能，为后续数学课程打下坚实的基础；同时，学生也可以受到高等数学的思想方法熏陶，培养抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力。

由于《微积分》的理论比较系统化，需要高度的综合分析能力，尤其是微积分基本概念部分，学生学习起来往往比较困难。在这些知识环节，教师如果能引入“研究性学习”教学模式，可以有效的帮助学生更深化的理解和掌握概念。

三、研究性学习教学案例

定积分是微积分学中最重要的概念之一，主要思想是分割、近似、求和、取极限。以下以定积分的概念为典型，做一个研究性学习的教学案例。具体过程如下。

1.呈现问题

师提出问题：任意的多边形的面积如何求解？学生思考回答：可将多边形通过分成三角形求解，也就是以直线边为边界的封闭图形面积都可以通过这样的分割的思想来解决。接着教师继续质疑：那曲线边图形的面积如何求解？学生思考，既然直线边封闭图形的面积已经解决了，可以将未知问题往已知的问题上靠拢。比如可以将所有的边界都是曲线边的问题转化成有三条边是直线边，仅仅一条边是曲线边的问题，将其置于平面直角坐标系中的合适的位置，可将问题抽象简化成曲边梯形的面积问题。演绎归纳的数学思想在这个环节中得以充分体现。

2.分析与讨论

在这个环节中，师生可共同讨论研究解决曲边梯形的面积计算方法。教师引导学生用已有的方法解决新问题。直线边界的图形面积已经解决，可以用“以直代曲”的思路，将曲边梯形进行有限分割，小的曲边梯形可以近似的看成矩形，然后进行求和求出曲边梯形面积的近似值，最后用极限作为工具，在小矩形的宽度趋于零的过程中求极限，从而得到曲边梯形面积的精确值。研究性学习的关键点是提高学生的学习兴趣，变被动接受成主动探讨。不断设置情境增加学生学习的积极性。

3.问题的解决

曲边梯形的面积问题是定积分概念的引例之一，教师可根据学生专业选择不同领域里的实际问题作为第二个引例。比如理工科的学生可以用变速直线运动的位移计算，经管类专业的学生可以用价格变化的商品总收益问题。让学生分析、比较、归纳、抽象，探寻发现这类问题的本质共同特征就是分割、近似、求和、取极限。将不均匀的累计问题转化为均匀问题，这类问题可以归结出定积分的概念。有了这些准备，得出精确的定义就显得顺理成章，水到渠成，突破了难点。

4.问题的展望

得到了定积分精确的数学定义，可以让学生用定义的方法求一个简单函数的定积分，让学生进一步理解定义中的数学思想。接着学生不免提出问题，这样的计算方法虽然理论上解决了不均匀的累计问题，但计算量大，函数复杂的时候可操作性不强。如何解决这个矛盾呢？自然展望到下一个问题，如何在微积分系统内部寻求更好的解决定积分计算的方法，使这个概念更具有生命力。激发学生进一步探索知识的兴趣。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）.北京师范大学出版社，2006

[2]周光礼，朱家德.重建教学：我国“研究性学习”三十年述评.高等工程教育研究，2009

基金项目：本文系2011年湖北省高等学校省级教学研究项目：“‘研究性学习教学模式在大学数学教学中的应用研究”（项目编号：2011480）的研究成果。