对中学数学美育教学的几点认识

柴育柏

摘 要： 美育也是一种情感教育，而情感也是不能强制的，要靠美的自力魄力唤起，数学自力的魄力集中反映在：简单，统一，对称，奇异等审美原则。数学教学中，美育的途径主要是：从审美原则入手，即教师应把数学中审美原则尽可能体现到数学教学和教法中，在教授数学知识的同时，按数学方法论的思想挖掘其背后的思想和美学价值，培养学生的美感和审美思维。

关键词： 中学数学教学 美育 数学美

一

数学是研究客观世界空间形式和数学关系的一门科学。数学具有美的特征表现在内容的抽象性、逻辑的严谨性、应用的广泛性三大特点。数学是一种发人深省的理论美，既有自然美，又有艺术美。自然美主要是以具体的形象，艺术美则主要是以理想的形象，通过人们的感官，使人的情感得以激发、抚慰或共鸣，使人的思想得以陶醉、净化或升华。正如许多科学家所言，数学是一门艺术。

将数学视为一门艺术，甚至把数学家称之为艺术家，目前并不为大多数人所认识和理解。美国数学家A·波莱尔于80年代在一次题为《数学——艺术与科学》的讲演中指出：“一方面，数学是门科学，因为他的主要目的是为自然科学和技术科学服务的，这个主要目的说的实际上正是数学的起源，常常称为问题的源泉。另一方面，数学也是一门艺术，因为它主要是思维的创造靠才智取得进展，很多进展出自人类的脑海深处，而且只有美学标准才是最终的鉴定者。”[1]

数学理论的发现与伟大艺术作品的问世一样，都是人类智力过程的结果，即发明与创造既是数学与艺术的共同基础，又是数学家与艺术家所共同追求的目标。I·末勒说：“伟大的画家，作家和音乐家以独一无二的方式看待他们周围的世界一样，伟大的科学家也是这样做的，特别是在创造的时刻，这些款项的屏障往往就消失了。”

法国著名的数学家彭加勒有句名言：“发明就是选择。”事实上，任何领域的发明和创造都以思想组合的方式进行的。正如诗人保罗-瓦策里在《法国新闻论》中所总结的：“任何发明过程都是包括两个方面，其一是进行思想的组合；其实选择忽然识别那些我们所期待的组合，那些能够给我们传递信息的组合。”数学和艺术有许多的统一性：在创造时刻上的统一性、数学理论与艺术作品在创造力上的统一性、数学理论与艺术作品在审美标准上的统一性。鉴于这么多的统一性，数学同样有艺术一样的美。

我们先了解一下什么叫“美”？美是心借物的形象表现情趣，是合规律性与合目的性的统一，美又是自由的形势，完好、和谐、鲜明。真与善、规律性与目的性的统一，是美的本质与根源。科学家从自己的科学研究实践中已经深刻认识到科学美、数学美的存在与作用。比如，作为一个伟大的科学家，彭加莱对科学美与数学美有强烈的感受：“一个名副其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”[2]这种“伟大的东西”就是与艺术美相提并论的科学美（数学美）。

实际上数学的美，也是数学知识中潜藏着的一种数学思想——美学思想。徐利冶教授认为：“数学的含义是丰富的，如数学概念的简单性，统一性，结构系统的协调性。”在数学教育中，数学老师合理的语言，规范的板书，精辟的数理分析，想象的讲解，严密的推理，无疑是数学教学中美育的体现。

美育是一种情感教育，而情感是不能强制的，要靠美的自力魄力唤起，数学自力魄力集中反映在：简单，统一，对称，奇异等审美原则，因此，数学教育中，美育的途径主要是：从审美原则入手，即教师“应把数学中审美原则尽可能体现到数学教学和教法中”，在教授数学知识的同时，按数学方法论的思想挖掘其背后的美学思想，美学价值，以及培养学生的美感和审美思维。因为只有具备数学美的审美能力，学生才能体会到数学的魅力。不但在于形式上的“优美”，而且在于以严密的逻辑性展现了自然运动的真实图景。数学美的这种强烈感染力，无疑将激起学生的学习动机，这正是教学成功的关键。以美启真，能培养学生的数学创造性思维能力。

哲学家说过，没的就是真的，而数学就是这样一门“既美又真”的科学。数学美曾使人陶醉，执著地追求；又使人们在寻求数学中得到思维的结果，其中不少是中学生，如参加数学奥林匹克竞赛的优秀分子。

但数学美在何处呢？数学美主要包括数学概念的简单性、统一性，结构的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，数学还包含奇异性。“我这里所说的美，不是给我们感官以印象的美，也不是质地美和表现美。并非小看上述那种美，完全不是，而是这种美与科学美无关。我的意思是那种比较深奥的美，这种美在各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它，正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表，没有这种支持，这些倏忽即逝的梦幻之美其结果就不是完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其身。”[3]人们对数学的和谐美、简单美、奇异美的追求，在很大程度上促进了数学的发展。例如射影集合的对偶原理，数学中自然对数的引进都是基于对美的追求，二进制的建立是对简单美的追求；集合论的悖论是对奇异美的追求；而公理化方法是数学抽象美的高层次显示。再举个实际的例子：1772年，柏林天文台太长、德国天文学家波德总结前人的经验，整理发表了一个“波德定律”，为人们提供计算太阳与诸行星之间的距离的经验法则。设地球与太阳之间的距离是10，则太阳到各行星的距离分别是：

上面的表格最下一列，若在12与48之间添上24，不计算首项0，其余项是一公比为2的等比数列。1781年，天王星被发现，它与太阳的距离为192按上面的规律为96×2+4=196，它与192甚为接近）。从数列的和谐性上看，人们怀疑在距离为28的位置上应有一颗小行星。天文学家忙碌了20年，1801年1月1日，意大利天文学家皮亚齐偶然在这个位置发现了一颗行星，且被命名为谷神星。这个例子说明自然界的规律性的美学特点，也可从中看出追求美学特点在探索自然规律中的作用。数学家曾指出：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，是非常自足的、美学的、不受（或几乎不受）经验的影响。”[1]

数学家阿达玛明确地表示：“若要问及研究工作的未来是否能产生卓有成效的结果，严格地说，我们对此真是一无所知，但审美感是可以告诉我们的，除了美感以外，就看不出有任何东西能帮助我们去做预见了。”[2]这正是对数学审美创造的深刻体验和精辟概括。马克思认为，社会进步就是人类对美的追求的结晶。数学对自身发展所具有的创造性的审美价值，要求我们在教育过程中必须注意诱导、培养学生感受数学美的能力，这是数学教育的一个重要目标。正如英国数学家、哲学家罗素所说：“数学，如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严厉的美。能够达到严格的只有伟大的艺术才能显示那种的境地。”[4]

二

科学之所以给人以美的感受和力量，就在于秩序、和谐、对称、结构、奇异，这些都是使人们产生美感的客观基础，而数学恰恰集中了美的这些特点，并以纯粹的形式表现出来。数学理性美表现为和谐美、简单美、奇异美。不仅仅是这些，我认为数学的美还包含三个方面。

（一）数子形式结构的简单性和应用的广泛性

数学形式的简单性和应用的广泛性是由数学学科的特点决定的。简单性是美的特点，从变化多端的自然现象中抽象出的数学概念，只能用简单的数学形式表述出来，反之它有能解释更多的现象。这就是数学美的体现。例如，自然数；“6”，可以表示6艘船，6支钢笔，6只鸡……空间中存在无穷多个三角形，形之多令人难以想象，但三角形的面积公式S=ah/2（S为三角形的面积，a为底，h为底边上的高）适用于任何三角形。为此它又可推理出多边形的面积公式，形式非常简单，且应用广泛。又譬如数学中的直线、圆、双曲线、抛物线等解析几何，本身是客观事物的抽象，形可以用方程表述，达到数形结合。通过研究曲线方程讨论曲线的性质。极坐标又将曲线统一起来。

如果教师在教学过程中能结合数学的发展史，形象地讲述过程，就会使学生产生数学美的艺术享受。

随着科技日新月异，数学影响并促进其他学科的发展。不仅物理、化学、生物学、信息学、天文学等自然科学要应用到数学，而且心理学、教育学、经济学、文学等社会科学也要应用到数学。教师在教学过程中要根据学生的发展需要和实际情况，讲解一些应用数学知识解决实际问题的例子。促使学生体会到数学应用的广泛性，增强对“数学是科学大门的钥匙”的认识，提高学习兴趣，提高课堂教学质量。

（二）学具有对称性和谐性

所谓和谐美，就是指部分与部分，部分与整体之间的和谐一致；对称就是整体各部分之间的相称与相适应。和谐也就是协调。对称是形式美的要求，它给予人们一种圆满匀称的美感。数学归根到底来自生产实践，来自现实世界，因为自然本身是对称的，和谐的，有规律的，反映到数学学科上表现为对称美和和谐美。

数学几何中的中心对称，镜像对称都能给人一种舒适美的感觉；代数中多次方程虚根的成对出现，线段方程组矩体表示和克莱姆法则均呈现着对称性，又如函数的图像关于直线y=x对称，等等。

数学题目本身的和谐性往往提供了很好的解题思路，同时追求数学的和谐性是达到解决问题的捷径。比如：在三角形ABC中，求证：a+b+c/2abc=cosA/a+cosB/b+cosC/c.式子的左边是边的关系，右边是角与边的关系，两边不协调，如果将两边统一起来，都用边的关系表示，会有什么结果呢？看它的推理： ，左边=右边。

例如：在对数运算中“换底公式”： 可将任意的对数化为同底的对数之比，使其协调一致，体现了一种内在的和谐美。实系数一元二次方程ax+bx+c=0的判别式△=b-4ac，当△﹥0时，方程有两个不相等的实根；当△=0时，方程有两个相等的实根；当△﹤0时，方程无实数根，体现了内在的和谐统一。

（三）数学体力的严谨性

数学逻辑的严谨性既是数学的特点，又是数学追求的目标。数学既反映现实世界，又服务于人的实际需要。它的初始概念和原始建立是以经验为基础的，经历长期历史时期的必然性结果。数学定理又是从概念出发，经过推理证实的，它的结论和证明是作为人们在实践中所研究的各种现象联系反映而产生的。数学是一个形式化的系统，这个系统中，数学概念，定理，等等，对元素通过符号逻辑语言表达为语句，而这些语句存在逻辑关系。正因为如此，数学有它的严密逻辑性和应用广泛性。

古代数学家赵爽在证明勾股定理时，就利用拼成正方形的图形加以证明。如图，a，b，c为直角三角形的三条边，∠C=90°，若记小正方形面积为S，大正方形的面积为S，那么

美的事物能使人们心情愉悦，反过来促使人们发现美的事物的存在，数学教学应该充分体现这一点。

爱美之心，人皆有之。爱美是人的天性，处于青少年时期的中小学生尤为突出。教师应该根据青少年爱美的特性进行审美观教育。美育是教育学的一个分支，它的主要任务是通过培养学生的感知美、鉴赏美和进行正确评价的能力，逐渐使学生对生活、艺术、科学等各领域的美具有一定接受能力、理解能力和创造能力，从而培养学生高尚的审美情操，促进学生全面发展。

参考文献：

[1]A·波莱尔80年代的一次题为《数学—艺术与科学》的演讲.

[2]李醒民.彭加勒科学方法论的特色.哲学研究，1984（5），彭加勒即彭加莱.

[3][法国]彭加勒.哲学的价值.北京：光明日报出版，1988：357.

[4]冯·诺伊曼.“数学家”.数学史译文集，第181-182页.上海科学技术出版社，1981.

[5]阿达玛.数学领域中的发明心理学.南京：江苏教育出版社，1989：97.

[6][英国]罗素.我的哲学的发展.北京：商务印书馆，1982：193.