研究一道向量习题的几种解法提高学生解题才能

孟令凯

题目：（普高课程标准·数学（必修4））P66习题2.2。

如图1，在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点。求证： + =2 。

方法1：（用结论）

∵ = + + ， = + + ，又∵E、F分别是AD、BC的中点，∴ + = ， + = 。

∴2 = + 。

方法2：（用法则）

如图2，连结BE、CE，延长EF至G点，使EF=FG。

又∵BF=CF，∴四边形ABCD是平行四边形。

∴ + = =2 。

又∵ = + ， = + ， + = ，∴ = + =（ + ）+（ + ）= + 。

∴2 = + 。

方法3：（用旧知）

如图3，过点E分别做EM AB，EN DC连结MN，设MN交BC于点F，则四边形EABM，四边形EDCN均为平行四边形。

又∵E为AD的中点，AE BM，ED CN，∴BM CN。

∴△BMF*？艿△CNF*。

∴BF*=CF*。

∴点F*与点F重合。

∴ = 。

∴ = （ + ）= （ + ）。

∴ = （ + ）。

∴ = + 。

方法四：（用定比）

如图4，延长BA、CD交与G点。

又∵E、F分别是AD，BC的中点，∴ = （ + ）。

∴ = （ + ）。

又∵ = - ，∴2 =2（ - ）=2 （ + ）- （ + ）

=（ + ）-（ + ）=（ - ）+（ - ）= + 。

方法5：（用坐标）

建立如图5所示的直角坐标系，设A（m，n），D（p，q），C（a，0），F（0，0），则B（-a，0），E ， 。

∴ =（-a-m，-n）， =（a-p，-q），∴ =- ， 。

∴ + n）=（-a-m-n）+（a-p，-q），=（-m-p，-n-q）=2- ， =2 。

点评：方法5用坐标和方法2用法则，是解决向量证明的常规思路；方法1、方法4用了结论首尾顺次连结的封闭n边形向量和是零向量，定比分点等结论解题；方法3用法则同时融进了平面几何知识，对提高学生的思维很有益处。但不论是常规思路还是其他方法，哪怕很复杂，教师在平常教学时皆可引导学生进行探索，多思考、多总结，久而久之就会提高学生分析问题、解决问题的才能了。

（江苏省灌云县杨集高级中学）