高等数学几何理论知识研究

琼吉

摘 要：几何学是高等数学的一门学科，它在数学教育中占有重要的地位，几何知识能贯穿高数中微积分研究的整个过程，为微积分提供了研究思路和方法。几何理论知识不仅在教学中具有重要意义，而且对于人类认识客观世界发挥了巨大的作用。本文对高等数学中几何理论知识在教学中的意义、在客观世界认识中起到的作用以及在教学改革实践中的建议进行阐述，从而提高对几何理论知识研究的认识。

关键词：高等数学；几何理论知识；改革建议

数学素养是当代大学生的基本素质之一，正在被越来越多的大学所重视，但一些学校并没有重视数学重要分支之一的几何学。目前，许多大学出现几何教学内容被压缩现象，偏重于“数”，不注重“形”。本文就几何知识在教学和客观认识中的作用进行阐述，以提高人们对几何的重视程度。

一、高数几何理论知识研究在教学中的意义

高等数学的核心理论是微积分，而在微积分的方法、内容和思想上都包含了几何原理。对几何的研究，要贯穿于微积分发展的每一个过程，同时也渗透微积分的每一部分内容。

1.几何理论能在高等数学中进行阐释。几何理论能对定理性质进行解说，对证明思路进行探析，例如：微分的几何思想是以直代曲，积分的几何模型是曲边梯形的面积，导数的几何意义是切线的斜率，罗尔定理的几何意义是满足一定条件的曲线具有水平切线。

2.几何理论分析法是一种思路的研究。它解题具有一定的局限性，一般要求题目给的条件具有特殊性，用几何理论分析需要认识并抓住它的特殊性来解题，具体问题具体分析，有助于认识问题的另一方面，加深对问题的深刻理解，从而揭示问题的本质，达到知其然还知其所以然的目的。

二、高数几何理论知识在客观世界中的重要作用

1.几何知识是人类认识世界的重要工具。几何学各种空间知识为各种数学门类的展开提供了适当的基础和舞台，几何的方法、代数的方法和分析的方法是相辅相成的。现代数学成为人类认识世界和改造世界的有力武器，因为它比较直观，能接近人们的生活，更能发挥人们的思维创造。数学历史上有许多定理的发现和创造都是以几何知识为基础的，也有许多学科的发展也是需要几何知识进行观察和处理。在高新技术发展中，几何学原理也得到了应用，例如计算机图形学、虚拟现实、数字仿真技术、CT扫描和磁共振成像处理都离不开几何知识的应用。

2.几何的美体现了数学美。几何的美在数学美中占有重要比例，因为数学美具有丰富的内涵，如形象美、创新美和简洁美等，而这种美的形象正好体现在几何学中。而数学是研究数与学的，它不仅仅体现在书本上的问题、解题的技巧，更离不开大千世界，把几何融入万事万物，结合事务构成了美的画面。它能充分展现出世界万物中的美，又能体现出万物的神秘感，让人们不断地去追求、去研究它，使人们在几何的认识、理解、渗透、追求、解惑中得到做人的真谛。例如二阶曲面的分类定理很漂亮和简洁，无论一个三元二次方程多复杂，只要进行直角坐标变换，就能转化成17种简单的方程，它所表示的几何图形就能被想象出来。此外，还能用简单的形式表达极其深刻的含义等。

3.几何知识能培养学生空间的想象能力和直觉能力。数学家庞加莱把数学分为两类，即逻辑和直觉。逻辑和直觉各有其必要的作用，二者缺一不可，交融在一起。只有逻辑能给人可靠性，它是证明的工具；直觉是发明的工具，直觉能发挥空间想象力，为几何理论知识的培养提供良好的环境，几何学又提供了理解和把握数学空间的手段。对于学生来说，掌握和理解问题的方法更重要、更有成就感。

三、高数几何理论知识应用在教学改革实践中的建议

要以几何为纽带，重新设置教学过程，将线性代数融入到传统高数上，达到线性代数、几何和微积分融为一体。

1.将几何与微积分完美融合。可以从定性与定量两个方面实施，结合几何理论知识指导的具体操作，从几何的定性研究给出变量的极限概念，以几何曲线上的点处切线确定，以函数图形给出导数，结合函数图形给出导数的应用。同时，通过对原函数的讨论从导数过渡到不定积分，对微积分的应用做出曲线的切线和法平面的解法。我们还可以用几何对象定量计算出发点给出的微积分相关内容，结合平面图形的面积计算给出定积分的概念，再结合旋转体体积的计算给出定积分的进一步应用，结合二重积分的应用给出空间曲面面积的计算方法。

2.将几何与线性代数逐步融合。在高等数学几何空间的向量及其运算、坐标系，向量组的线性关系的概念可以从代数的角度描述二维、三维几何空间的向量之间的关系，前后两方面相似、相互照应。因此，在几何理论上不应分割，为刻画几何空间的直线平面相互之间的位置关系提供了简洁的方法，再通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的相似关系，给出几何空间的曲面、曲线的相关内容。

3.进一步体现“几何、微积分、线性代数”紧密联系。利用多媒体教学的优势，使抽象的微积分概念、定义及代数方法建立在直观的几何背景基础之上，让学生加强对相关知识的理解与认识。

基于上述认识，我们应在大学教学中，加强对几何理论知识的学习和渗透，突出其在教学中的重要作用，并在几何课程教育改革实践中进行有益的尝试，力争取得较好的效果。

参考文献：

[1]张艳蓉.高等数学教学中抽象思维能力的培养[J].教师，2012（5）.

[2]王经雨.高等数学研究课程改革探究[J].数学学习与研究，2012（11）.

[3]张昆.渗透数学观念的教学设计方法研究[D].重庆：西南大學，2011.