数学史融入数学课堂的教学设计

李珺

【摘要】在HPM研究理论指导下，参照“数学史——探索”教学模式，对圆锥曲线的发展进行教学重组，帮助学生完成知识的自我构建.

【关键词】数学史；圆锥曲线；工作单

HPM研究组织成立三十多年以来，HPM理论及其实践研究得到了长足的发展.本文参考范广辉提出的“数学史——探索”教学模式，对圆锥曲线的发展历史进行教学重组，以工作单的形式引领学生经历概念形成的几个关键时期，以及数学家探究数学概念的活动，完成数学知识的自我建构.

工作单1 倍立方问题

传说中，这问题的来源可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛（Delos），造成四分之一的人口死亡.岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍.人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图.开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易.他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗？结果……

问 题

1.你能利用所学知识求出数学题“体积是棱长a的立方体的2倍的立方体的棱长b”吗？

让我们来看一下柏氏门徒当时差点成功的作法：“求体积是棱长a的立方体的2倍的立方体”，这问题可以转化为“求在a与2a之间插入二数x，y，使a，x，y，2a成等比数列”，即a∶x=x∶y=y∶2a，故x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，从而x3=a（xy）=a（2a2），故x3=2a3，则棱长x的立方体即为所求.

2.从上述方法中可以看出，我们所要求的棱长x是哪两条曲线的交点横坐标？

3.我们只要画出这些曲线就可以找到x的值，嘗试从图像中找出x.

上述用曲线来求解倍立方问题的方法是希腊数学家门奈赫莫斯开创的圆锥曲线法，这些曲线就是我们现在的抛物线.

工作单2 门奈赫莫斯与圆锥曲线

希腊著名学者门奈赫莫斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”.他把Rt△ABC的直角A的平分线AO作为轴，旋转△ABC一周，得到曲面ABECE′，如图1.用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲线EDE′，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”.他想以此在理论上解决“倍立方问题”未获成功.而后，便撤开“倍立方问题”，把圆锥曲线作为专有概念进行研究：若以Rt△ABC中的长直角边AC为轴旋转△ABC一周，得到曲面CB′BE′，如图2.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口为一曲线，称之为“锐角圆锥截线”；若以Rt△ABC中的短直角边AB为轴旋转△ABC一周，可得到曲面BC′ECE′，如图3.用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口曲线EDE′称为“钝角圆锥截线”.当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面”为媒介得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”.

我们可以用几何知识证明曲线的性质：

设直角圆锥的轴三角形VBC是等腰直角三角形，顶角V是直角，过母线VB上一点A用垂直于VB的平面截圆锥面，其交线QAR为直角圆锥截线.过交线QAR上任一点P作平面垂直于轴VO，它与轴截面VBC交于DE，与圆锥交于以DE为直径的圆DPE，作AF∥DE，FG⊥DE.若记AN=x，NP=y，AG是与点A位置有关的定线段记为b.问题：我们可以得到x，y，b之间怎样的关系式？

上述的关系式正是解析几何中抛物线的解析式.类似的方法可以证明锐角圆锥截线就是现在的椭圆，钝角圆锥曲线是双曲线.

【参考文献】

[1]鲍建生，徐斌艳.数学教育研究导引（二）[M].南京：江苏教育出版社，2013：403-422.

[2]范广辉.“数学史——探索”教学模式的理论构建及其实施策略研究[J]，2010.

[3]张洪杰.圆锥曲线的产生与发展.http：//www.zxxk.com/Article/161363.html.