图形变换问题在中考中的应用探究

黄云兴

摘 要：《义务教育数学课程标准》指出，“图形变换”属于“空间与图形”领域的内容，它是空间与图形中的一个重要知识板块，主要涉及图形的轴对称、平移、旋转以及位似。不同变换之下的图形之间都具有各自不同的性质，这些性质不仅能为合理推理提供依据，同时也是解决许多实际问题的重要工具。通过设置基于基本变换的试题，既可以考查学生的对基本图形本质的理解，又能培养学生的实践与操作能力，形成空间观念和运动变化的意识，因此成为现在中考试题的热门考题。就这类问题分类解说，以供大家在中考复习中作参考。

关键词：图形变换；轴对称变换；平移变换；旋转变换；位似变换

一、图形变换问题的特征

图形变换是从变换的角度来研究图形的，变换作为重要的研究手段和方法，在作图、探索与发现图形的性质与图形的关系等方面有着极为广泛的应用。一般以操作探究的形式对这部分知识进行重点考查，任何图形经过“轴对称、平移、旋转以及位似”等变换后得到的新图形与原图形之间仅仅是位置发生变化，其形状没有发生变化，大小相等或成比例。这些性质为合情推理提供依据，同时也是解决许多实际问题的重要工具。

二、图形变换问题的分类

在平面几何体系中，我们所见过的几何图形的变换方式，主要有轴对称、平移、旋转、位似这几种。在教材中，我们也只介绍这几种变换方式，因而只需掌握这几种变换就可以了。

三、图形变换问题的解决方法

图形变换，以确定图形或物体位置来探索变化规律，掌握起来并不难。首先要自己动手操作，寻找线段或者角之间的变化规律，大胆地猜想结果并加以验证。变换前后的图形，其形状不改变，大小相等或成比例，只是位置上的变换，轴对称、平移、旋转所得的图形是全等形；位似图形是相似形，所以要注意找准对应点，看清对应边、对应角，注意变换性质的理解和运用。

四、对常见的几种图形变换分类解说

1.轴对称变换型问题

在平面内，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形。轴对称的性质：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是它们的对称轴；对称点之间的连线必被折痕垂直平分；对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等。在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁。

分析：此题如果直接去求解，难度比较大，主要的困难在于无法把BD、CD这些已知条件与未知的AD集中到同一个三角形中，也无法把∠BAC=45°这个条件用进去，导致解决困难。这里通过轴对称变换，构造出正方形AEGF是顺利解题的关键。

2.平移变换型问题

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。中考對图形平移变换的要求是：理解对应点连线平行且相等；能按照要求画出平移后的图形；能应用平移变换知识设计简单图案等。

3.旋转变换型问题

在平面内，把一个图形绕着某个点旋转一个角度，这样的图形变换叫旋转变换。

旋转变换的性质：旋转变换不改变图形的形状和大小；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转角。这种图形变换在中考中特别常见，下面分类解析：

4.位似变换型问题

位似变换就是两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），这样的变换叫位似变换。中考中常利用位似对一个图形扩大或缩小，或者是求边、角、周长和面积等。

参考文献：

[1]顾方东.巧用图形变换妙解中考试题[J].中国数学教育，2010（5）：38-40.

[2]於增辉.平移和旋转在解题中的应用[J].初中数学教与学，2005（4）：13-14.

（作者单位 广东省东莞市石排中学）