浅谈构造函数法在高中数学中的应用

黄紫敬

摘 要：构造函数法是指运用函数概念和性质，构造辅助函数解题的一种方法，它极具技巧性和创造性。利用构造函数法解题的关键在于找到能反映题目特征的函数，再利用函数的性质求解问题。巧用构造法解题能打破常规，找到解决问题的捷径。本文通过例题说明构造函数法在高中数学中的应用。

关键词：构造函数；高中数学；解题

函数思想是高中数学学习中的一个核心思想。构造函数法便是利用了函数思想，将原来的数学问题转化为容易解决的函数问题。一些看似非常复杂的题目，如果能用函数的观点加以分析，常可使问题变得简单明了，从而易于解决问题。根据题意，构造函数是高中数学中一种常用的方法，它可以用来证明不等式、解不等式以及解方程等。

一、利用构造函数法证明不等式

不等式的证明对很多学生来说是难点。證明不等式除了可以用常见的比较法、反证法、分析法外，还可以用构造函数法。利用构造函数法证明不等式，关键在于找到一个能反映不等式特征的函数。

例1.求证■≤■+■

分析：仔细观察题目可以发现，题目中三个分式形状相似，由此可以联想到构造函数f（x）=■，再利用函数的单调性去证明不等式。

证明：构造函数f（x）=■，由于f（x）在（-∞，1），（-1，+∞）上均递增，再由不等式性质|a+b|≤|a|+|b|可得：

■≤■=■+■≤■+■

二、利用构造函数法解不等式

不等式的求解是高中数学中一种比较常见的题型。对于一些形式特殊的不等式，如果我们能针对其结构特点巧妙构造函数，往往会取得事半功倍的效果。

例2.求不等式x6-（x+2）>（x+2）3-x2的解集。

分析：这是一道解高次不等式的问题，根据题目的结构特征，可以联想到构造函数解不等式。

解析：原不等式可化为x6+x2>（x+2）3+（x+2），设f（x）=x3+x则f（x）在R上单调递增，所以原不等式等价于f（x2）>f（x+2），即x2>x+2，解得：x<-1或x>2。

三、利用构造函数法解方程

在高中数学的学习中，有时会遇到一些结构比较特殊的方程。当用常规方法无法解决这一类方程时，巧妙运用构造函数法，题目往往就能迎刃而解。

例3.解方程3x+4x+5x=6x。

分析：此题比较特殊，既合并不了，又分解不了。根据方程与函数的关系，可联想到通过构造函数方法来研究方程的解。

解析：原方程可以变形为：（■）x+（■）x+（■）x-1=0

设f（x）=（■）x+（■）x+（■）x-1，观察并计算知：

f（1）=1，f（2）<1，f（3）=0

所以x=3是原方程的一个根。

因为（■）x，（■）x，（■）x均为R上的严格减函数，故f（x）是R上的严格减函数。

当x>3时，f（x）f（3）=0。

所以原方程有且仅有一个解，x=3。

通过以上例题可以看出，在解题时，构造一个适当的辅助函数帮助探求解题思路，往往可以带来很大的方便。构造函数法是一种极具技巧性和创造性的解题方法，它不仅可以用来培养学生思维的灵活性，还可以让学生感受到解题的乐趣。此外，构造函数法还渗透了化归、猜想等数学方法，对提高学生的解题能力具有非常大的帮助。

参考文献：

[1]张雄，李得虎.数学方法论与解题研究[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]杨丽宁.构造法在不等式证明中的应用[J].榆林高等专科学校学报（综合版），1996（2）.